Верно ли сказать, что слово "отец" в Библии используется только в трех случаях?

Есть ещё четвёртое понятие это отец духовный... Что бы дать ответ на Ваш вопрос нужно рассмотреть весь контекст, в котором встречаются эти слова. Итак, Евангелие от Матфея, глава 23, стихи с 8-го по 10-й: «А вы не называйтесь учителями, ибо один у вас Учитель - Христос, все же вы - братья. И отцем себе не называйте никого на земле, ибо один у вас Отец, который на небесах; и не называйтесь наставниками, ибо один у вас Наставник - Христос» .
Зададимся вопросом: нарушаем ли мы эту заповедь, именуя «отцом» или «папой» того, кто породил нас на свет Божий? А именуя «учителями» тех, кто преподаёт нам в школе знания, необходимые для земной жизни? - Ответ очевиден. Тем более не является её нарушением именование «отцами» и «учителями» тех, кто рождает нас духовно и учит всему, необходимому для Жизни Вечной, - т. е. священнослужителей.
О духовном отцовстве идет речь во многих местах Священного Писания. Так, к примеру, в послании к коринфской Церкви апостол восклицает: «Хотя у вас тысячи наставников во Христе, но не много отцов; я родил вас во Христе Иисусе благовествованием. Посему умоляю вас: подражайте мне, как я Христу» . - Т. е. тех, кого апостол «родил… во Христе» , своих духовных детей, он призывает: «подражайте мне» , своему духовному отцу, «как я Христу» . (1 Кор 4. 14-15)
К христианам Галатии апостол тоже с любовью обращается «дети мои» (Гал 4. 19). В послании к Филимону он называет своего ученика Онисима «чадом» , кого он «родил в узах» (т. е. находясь в темнице в Риме) (Фил 1. 10). Святой евангелист Иоанн также неоднократно именует адресатов своих посланий «детьми» и «чадами» (1 Ин 2.1; 5. 21; 3 Ин 1. 4). Очевидно, что они в ответ называли его отцом.
А в послании к Эфесянам святой Павел говорит, что хотя и «один Бог и Отец всех, Который над всеми» , но Он Сам же и «поставил одних Апостолами, других пророками, иных Евангелистами, иных пастырями и учителями» (Еф 4. 6, 11). Из этого стиха следует, что наименование «учитель» также употреблялось первыми христианами, хотя и о нем, как и о слове «отец» , идет речь в 23-й главе Евангелия от Матфея.
О чём же тогда на самом деле идёт речь в данной заповеди? Повествуя о содержании 9-го стиха святой Иоанн Златоуст поясняет, что Господь говорит так, «что бы знали, кого собственно должно называть отцом» . А блаженный Феофилакт Болгарский объясняет этот евангельский отрывок следующим образом: «Христос не запрещает называться учителями, но возбраняет страстно желать этого наименования и всячески стараться о приобретении его. Учительское достоинство в собственном смысле принадлежит только Богу. Также и словами: «отцом не называйте» не возбраняет почитать родителей; напротив, Ему угодно, чтобы мы почитали родителей и особенно духовных отцов. Этими словами Христос возводит нас к познанию истинного Отца, то есть Бога, так как отец в собственном смысле есть Бог, плотские же родители не суть виновники нашего бытия, а только содействователи и орудия Божии. Показывая пользу смиренномудрия, Христос говорит, что больший из нас должен быть слугой и последним. Кто будет сам себя возвышать, считая себя чем-то великим, тот будет покинут Богом и унижен» .
О тех, кто ложно упрекает Православие в «злоупотреблении» именованиями «отец» и «учитель» , замечательно сказал известный духовный писатель XX века С. И. Фудель: «Они никогда, наверное, в своей жизни не знали людей, которых знали мы, никто не показал им в живом дыхании, что такое Святая Церковь, никто не прижимал их голову к своей груди, на которой холодок старенькой епитрахили, никто не говорил им: «Чадо мое родное» , - этих огнеобразных слов, от которых тает все неверие, и что еще удивительнее - все грехи».

Иисус показал, до каких пределов мы должны почитать других.

Таким образом, в вопросе об оказании чести имеет значение то, о каких титулах идет речь — религиозных или светских. Повеление Павла об оказании чести властям не распространяется на те случаи, когда чиновники присваивают себе титулы религиозного характера. И на те случаи когда религиозные деятели хотят чтоб их называли "батюшка" или "отец" с токи зрения их почитания. Отцом с большой буквы достоин называться только Всевышний поэтому мы должны воздерживаться от употребления каких-либо религиозных титулов, поскольку должны «[отдавать].. . Божье Богу»