Объясните, как религия даёт ощущение безопасности? И даёт ли?

Как детям.

чисто психологически снимается ответственность за себя, близких.... и перекладывается на нечто мифическое (типа... сам не знаю, на что, но пусть ОН отвечает) .
это уход от РЕАЛЬНОСТИ.. .
в иллюзиях всегда комфортнее жить

Если вы купили билет на уходящий с тонущего острова, корабль, то вы облегченно вздыхаете, что спасены. Это дает ощущение безопасности, когда сели на корабль. Представьте. что опасность и корабль необычные и находятся в духовной сфере, то вопрос упирается в веру, которая помогает осознать причастность к тем, кто спасен и ощущать корабль, который вы уже заняли.

Она дает надежду на то, что будет вечный рай и безопасность. Но на это ведутся далеко не все. нет доказательств существования души и вечности, рая и ада и пр.

Самым наипримитивнейшим способом. У любой религии есть ритуалистика. Покрестился-помолился-спел мантру. Поначалу это делается из любопытства. И жрецы подают поощрительный стимул. А потом, если не сделаешь - что-то начинает беспокоить до тех пор, пока не сделаешь (а вдруг чего случится!) . При этом жрецы опять же не сильно, но запугивают. А сделал - опять вроде нормуль. Так потихоньку и затягивает. Да так затягивает, что люди потом не представляют себя без этой ритуалистики.

Любые суеверия - это тоже религия: увидел чорную кошку - напугали - испугался. Поплевал по сторонам - и на душе полегчало.

При этом многие и сами не могут объяснить, зачем это делают, ссылаясь на то, что их вера - истинна и т. д.