есть ли библейское основание тому,что после смерти какая-то часть человека продолжает жить?

Нет. Библейское основание есть тому, что когда человек умирает, он перестает существовать. Мертвые не могут видеть, слышать, думать. В человеке нет бессмертного начала, которое продолжает жить после смерти тела. " Живые знают. что умрут, а мертвые НИЧЕГО не знают". Еккл. 9:5.

Есть и много.
21 И простершись над отроком трижды, он воззвал к Господу и сказал: Господи Боже мой! да возвратится душа отрока сего в него!
22 И услышал Господь голос Илии, и возвратилась душа отрока сего в него, и он ожил.
(3Цар. 17:21,22)
2 Знаю человека во Христе, который назад тому четырнадцать лет (в теле ли - не знаю, вне ли тела - не знаю: Бог знает) восхищен был до третьего неба.
(2Кор. 12:2)
8 то мы благодушествуем и желаем лучше выйти из тела и водвориться у Господа.
(2Кор. 5:8)
14 зная, что скоро должен оставить храмину мою, как и Господь наш Иисус Христос открыл мне.
(2Пет. 1:14)
3 И когда пойду и приготовлю вам место, приду опять и возьму вас к Себе, чтобы и вы были, где Я.
(Иоан. 14:3)
3 И вот, явились им Моисей и Илия, с Ним беседующие.
(Матф. 17:3)
43 И сказал ему Иисус: истинно говорю тебе, ныне же будешь со Мною в раю.
(Лук. 23:43)
22 Умер нищий и отнесен был Ангелами на лоно Авраамово. Умер и богач, и похоронили его.
(Лук. 16:22)
30 ибо в воскресении ни женятся, ни выходят замуж, но пребывают, как Ангелы Божии на небесах.
(Матф. 22:30)
и многое другое.