Насколько и в чем повлияла греческая культура, менталитет и знания на Новый Завет и другие предания Церкви?

Вопрос, конечно, интересный. Вот, есть скукотища: http://www.bogoslov.ru/bv/text/173974/index.html Переиздано в 2006 году: http://www.patriarchia.ru/db/text/99155.html

А тут написано по-человечески: http://krotov.info/spravki/temy/ae/aelliniz.html
Например: "Евангелия часто сопоставлялись с античными биографиями (at. Евангелия (жанр). Так Тальберт (Talbert) утверждал, что они подпадают под определенный тип, предназначенный для утверждения авторитета первооснователя, для того чтобы рассеять ложные мнения о нем или представить его истинный образ (а также его последователей). В особенности двухчастное произведение Луки, Евангелие и Деяния, рассматривалось как подражание классическому образцу историографии, с формальным посвящением Феофилу, тщательной датировкой рождения Иисуса и сочиненными речами персонажей в Деян. Обнаруживались также параллели между Евангелиями и эллинистическими ареталогиями (гимнами, восхваляющими добродетели богов)."
"Некоторые из совершенных Иисусом исцелений* (напр., Мк 7:31-37) кажутся похожими на деяния эллинистических кудесников"...
"Однако мы находим указания на социальную структуру эпохи Э. (напр., роскошь обитателей больших особняков, Мф 11:8) и на архитектурное великолепие Храма Ирода (Мк 13:1). Автократическая власть династии Ирода запечатлена в изображении Ирода Великого в Мф 2 и в истории о том, как Ирод Антипа казнил Иоанна Крестителя* (Мк 6:14-29; см. Ирода династия). Упоминаются римский император и некоторые характерные черты римской администрации"...
"Иногда путь последователей Иисуса противопоставляется эллинистическому миру: в Лк 22:25 Иисус говорит о том, как цари язычников правят своими подданными и называются «благодетелями»*, а с Его учениками не должно происходить подобного. «Благодетель» (Euergetes) - хорошо известный титул эллинистических царей, например, Птолемея III и Антиоха VII, а также императора Августа и других правителей. В Ин 18:35 Иисус противопоставляет свое царство военизированным государствам. Изображение царей и их дворов в Евангелиях, в том числе в притчах Иисуса, опирается скорее на популярное представление об эллинистических владыках, нежели на воспоминания об израильской монархии. В Лк 19:11-27 знатный человек отправляется в путь в далекую страну, чтобы получить титул царя (basileus) - это соответствует обычаю местных восточных князьков добиваться статуса вассалов Рима. В качестве замечательного примера можно рассмотреть случай с Архелаем, сыном Ирода Великого, который отправился в Рим за титулом «царя», но получил лишь звание «этнарха». Тем не менее в целом Евангелия рисуют не жизнь царей и богатых горожан, а повседневные дела палестинских крестьян"...
"Важный пример -логос* в Ин 1:1, 14, означающий Христа как Слово. При том, что этот термин многое заимствует из ветхозаветного представления о динамичном и творящем Слове Божьем и из иудейского учения о Мудрости, едва ли он мог не напомнить образованным грекам о стоическом учении о логосе (см. раздел 2.4.3). Резкие противопоставления плоти и духа, верха и низа, земного и небесного в Ин могут быть отчасти связаны с распространившимся учением Платона (это влияние могло быть опосредованным, прошедшим через эллинистический иудаизм); много обсуждалась возможность гностического влияния на евангелиста (см. Евангелие от Иоанна). Греческие представления о природе души могли проникнуть даже в синоптические Евангелия: в Мф 10:28 иудаистская концепция единой человеческой личности, по-видимому, подменяется греческой дихотомией души и тела."
"Можно проследить сходство между некоторыми моментами в этическом учении Иисуса (см. Этика Иисуса) и этикой греческих философов. В особенности мы отмечаем представление о Боге Отце, ценность индивидуума и безразличие к собственности. Ф. Даунинг (Е G. Downing) в своей увлекательной работе привлек внимание к параллелям между Иисусом и киниками."

На стиль написания повлияла греческая культура.

насколько я знаю, греческий язык (койне) , как часть культуры, стал Новозаветным языком, тем более, что им владели Апостолы Павел, Лука, Иоанн и другие. Симеон, который чудесным образом дожил до рождения Христа, участвовал в переводе Ветхого Завета на греческий (Септуагинты).

вопрос не ясен. Как может что-то повлиять на Божий завет?