Должен ли верующий проповедовать или достаточно жить по вере? Почему?

Должен. Это одна из заповедей Иисуса Христа.
Матфея 28:19—20: ...Поэтому идите и во всех народах подготавливайте учеников, крестя их во имя Отца, Сына и святого духа 20 и уча их соблюдать всё, что я вам повелел. И я с вами во все дни до завершения этой системы вещей» .
Матфея 24:14: ...Эта благая весть о царстве будет проповедана по всей обитаемой земле для свидетельства всем народам, и тогда придёт конец.

Вообще то важно не только жить по вере, но и быть водимым Духом Святым, иначе будешь пороть такую отсебятину, что Бог будет просто поражаться тебе. Для этого надо постоянно исполняться Духом Святым, а чтобы исполняться Им, надо знать Его лично. Проповедь в своеволии без помазания абсолютно бесполезна. Посмотрите на адептов секты еговистов, они своей проповедью вне воли Божьей, улавливают людей только для геены огненной, а не для Царства Небесного.

Не должен.

На верующем человеке не лежит обязанности заниматься проповедью, более того проповедью запрещается заниматься без благословения. То есть человек может быть верующим и не заниматься проповедью.

Если хочет, чтобы его вера вскорости стала посмешищем, - просто-таки обязан. И чем мутнее, тем лучше...

Это от религии зависит, в некоторых верующие должны аггитировать за свою религию независимо от желания. в других достаточно просто жить по религиозным законам.

каждому свое

нужно слушать что скажет на это его совесть, а действовать соответственно способностям, у некоторых нет дара проповедовать

Римл. 10:10 потому что сердцем веруют к праведности, а устами исповедуют ко спасению.