Как грехи предков переходят на потомков?

Грехи предков не переходят на потомком.
Каждый, сам отвечает за свои поступки.

"  Не заблуждайтесь: Бог не тот, над кем можно насмехаться. Что посеет человек, то и пожнёт." (Галатам 6:7)
"  Каждый понесёт свою ношу." ( Галатам 6:5)

Никак не переходят. Ошибки - да, иногда переходят - но не "грехи".

Через правило=После нас хоть потоп)

за отпущение грехов всегда приходилось платить, влезать в долги. Эти долги и приходилось платить потомкам.

непрощенные обиды

поступок = результату

Дети слушают что говорят родители, но учатся из их дел и поступков.

Это нельзя проверить
Хотя генетика не отрицает остаточных явлений
Но при чём тут религия

Никак.
Просто у родителей часто рождаются дети с похожими наклонностями души.

через воспитание, здоровье и тд

в момент реинкарнации.

Посредством генов и чебурашков... ой, чебурашков не надо!

Не грех переходит, а склонность к определенному греху переходит.
Кто то блудит, кто-то содомист, кто-то гневлив.
Обычно говорят, что яблоко от яблони не далеко падает.
Но если человек выкорчует из себя родовой грех покаянием. исповедью.
То дальше грех остановится.

На генном уровне .

Впервые грех появился не на земле, а в духовной сфере. На протяжении долгого времени во Вселенной царила полная гармония с Богом. Она была нарушена по вине духовного создания, которое названо Противником (евр. Сата́н; греч. Сатана́с; Иов 1:6; Рм 16:20), главным Обвинителем Бога, или Клеветником (греч. Диа́болос) (Евр 2:14; Отк 12:9). Вот почему апостол Иоанн написал: «Кто поступает греховно, тот от Дьявола, потому что Дьявол грешит с самого начала» (1Ин 3:8).

Под «самым началом» Иоанн, несомненно, подразумевает начало противостояния Сатаны Богу (подобным образом в 1Ин 2:7; 3:11 слово «начало» обозначает вступление на путь христианского ученичества). Из слов Иоанна следует, что, встав однажды на путь греха, Сатана продолжил идти по нему. Поэтому те, «у кого грех входит в привычку», показывают, что они «дети» Противника, духовные потомки, отражающие качества своего «отца» (The Expositor’s Greek Testament / Под ред. W. Nicoll. 1967. Т. 5. С. 185; Ин 8:44; 1Ин 3:10—12).

Прежде чем неправильное желание «рождает грех», оно постепенно развивается и становится способным зачать этот грех (Иак 1:14, 15). Так же обстояло дело и с духовным созданием, ставшим противником. Это создание начало отклоняться от пути праведности и проявлять недовольство по отношению к Богу еще до того, как грех проявился в его поведении.

....сын не понесет вины отца, и отец не понесет вины сына, правда праведного при нем и остается, а беззаконие беззаконного при нем и остается… Я буду судить… каждого по путям его, говорит Господь Бог» (Иез. 18. 19–30).

...