Кто дал русскому богатырю еврейское имя Илья?

Церковь.

Е́ресь жидо́вствующих — православно-церковное название для ряда разнородных религиозных движений (ересей с точки зрения Православной церкви)..
вот они-то, эти Ж и дали имя: -))

При крещении в русской православной церкви, если у человека русское имя, которого нет в святцах священник меняет на имя святого. В святцах нет святых с русскими именами.
Вот и богатырю имя поп и заменил на Илью. А вот другой богатырь Добрыня Никитич, получается был не крещённым, так как вошел в летописи под славянским именем - Добрыня.
Дополнительно. Прообразом былинного персонажа часть исследователей считает исторического персонажа, силача по прозванию «Чоботок», родом из Мурома, принявшего монашество в Киево-Печерской лавре с именем Илия, и причисленного в 1643 году к лику святых православной церкви как «преподобный Илия Муромец».
По этой теории Илья Муромец жил в XII веке и скончался в Киево-Печерской лавре около 1188 года. Память по церковному календарю — 19 декабря (1) января. Русские летописи не упоминают его имени. В конце жизни он постригся в Печерском монастыре под именем Илья.
Мощи покоятся в Ближних Пещерах Киево-Печерской лавры. Надгробная плита Ильи Муромца расположена возле могилы Столыпина. Часть мощей Ильи — средний палец левой руки — находится в одном из храмов города Мурома, Владимирской области.
В 1988 году Межведомственная комиссия Минздрава УССР провела экспертизу мощей, в результате которой было установлено, что это был мужчина, умерший в возрасте 40-55 лет от ранения в области сердца и перенёсший в юности паралич конечностей.
Если рассуждать согласно этой теории, то возможно, что все свои богатырские подвиги, Илья совершил еще будучи не крещённым.

Шлома, Изя, Ваня или Моша с Веней надо полагать.

Потому что он евреем был.

"нет пред Богом ни эллина, ни иудея"

Все имена на Руси еврейские.
За редким исключением.

В Третьяковской галерее,
На стене висят евреи,
Среди трех богатырей,
Средний Муромец, еврей.

Еврейские имена пришли на Русь, с момента крещения Руси, тогда и стали называть детей или по крещении, именами из Библии, римскими, греческими и именами святых.

Возможно Илью Муромца крестили и дали имя Илья. Точно сказать в каком году жил Илья нельзя, но он жил во времена Владимира.

Чё тут дивного. Бог один (так говорят) и он этой национальности. На все воля....

Ведомо кто, батюшка. А народ прозвал его Чоботком, после того, как он отбился от врагов одним сапогом. Его мощи хранятся в Киево-Печорской лавре.

Я читал что даже некоторые мифы русские основаны на апокрифах.
Еврейское христианство душило язычество, не удивительно что богатырь носит еврейское имя, и вообще православный на всю голову, других вариаций персонажа попросту не пропустили бы церковной цензурой.