должны ли верующие помогать тем грешникам, которые не хотят оставить свой грех? (наркоманы, геи, алкоголики)

Конечно. Молитвой и добрым словом.

да, молитвенно

какой смысл вы вкладываете в слово помогать?

Должны. Но не в их грехах.

Верующий, прежде всего должен пожелать спасения своей души, а в процессе спасения ему лучше помогать ближним, кто бы они не были, но разумно, чтобы не обозлиться самому и других не обозлить.

Помогать - не обязаны, любить - обязаны. "Но вам, слушающим, говорю: любите врагов ваших, благотворите ненавидящим вас, благословляйте проклинающих вас и молитесь за обижающих вас." (Св. Евангелие от Луки, 6:27-28). А где любовь, там и помощь. Почитайте еще притчу о милосердном самаритянине. Смысл этой притчи, если её перевести на язык современных реалий таков:
"Бандиты взяли и напали на православного, который шёл из храма к дому ночью. И вот он лежит, истекает кровью. Мимо прошёл диакон и не оглянулся, переступил через него и пошел дальше. Дальше идет батюшка, но и он не помог и пошел дальше. И тут больной видит - идёт сатанист, весь в перевернутых крестах, татуированный, с кладбища. Сатанист сжалился над больным, вызвал ему скорую, поехал с ним в больницу и заплатил врачу за лечение. Дальше задается вопрос - кто ему больше помог - первые двое или последний? И ответ - иди и ты так же поступай". То есть делать добро надо тем, кто с нашей земной точки зрения добра не заслуживает именно потому, что кто знает - может они тебе добро сделают, когда твои единоверцы отвернутся от тебя. Все мы люди, все мы родственники, все от Адама произошли.