Может ли православный произнести слово "клянусь" при принятии присяги президента РФ, если Иисус запретил клясться?

Православные должны придерживаться Церковного понимания Писания, а оно не запрещает клятвы в суде, при присяге и др. законные клятвы.

Ведь если разобраться по существу клятвы (не пустые, конечно) не только не запрещены, но и освящены Библией.
Клятва установлена и освящена Самим Богом для народа израильского (Втор. 6:13; Иер. 4:2). А пророки предсказали, что во времена Мессии и самые язычники будут клясться именем Бога истинного (Ис. 19:18; 65:16).
Писание приводит примеры клятв апостолов и Сам Христос удостоверил клятву во время суда над Собой.

В Нагорной проповеди Христос не клясться запрещает напрочь, а клясться чем-то:
"Еще слышали вы, что сказано древним: «не преступай клятвы, но исполняй пред Господом клятвы твои». А Я говорю вам: не клянись вовсе: ни небом, потому что оно престол Божий; Ни землею, потому что она подножие ног Его; ни Иерусалимом, потому что он город великого Царя; Ни головою твоею не клянись, потому что не можешь ни одного волоса сделать белым или черным. Но да будет слово ваше: «да, да», «нет, нет»; а что сверх этого, то от лукавого." (Мат 5:33-37)

...в той же брошюре было: "отдайте кесарю - кесарево"

Клятва — это призывание Бога засвидетельствовать правдивость наших слов.

А то, о чем вы пишете-совсем иное.

Иисус не запрещал клясться. Он говорил о бессмысленности клятвы для неразвитых духовно. А те, кто достаточно развит, и сами понимают эту бессмысленность.

Это вопрос обученной (или не обученной) по Библии совести