Что символизирует полумесяц на некоторых Православных крестах?

Это не полумесяц, а якорь. Крест – якорь надежды, якорь корабля – спасительного ковчега (Церкви) , на корме которого Христос.

http://www.pravmir.ru/article_3252.html -- тут подробно .

и якорь, и чаша Грааля, и победа над мусульманством. но сейчас, скорее, наоборот - мусульманство побеждает

Совмещение Креста и якоря (тоже древний христианский символ) .
Появился сильно раньше ислама и его символики...

Полумесяц у основания Креста придает ему сходство с якорем, который у древних христиан был символом надежды, а Церковь – корабль спасения в бушующем житейском море. Мысль эту мы находим у св. апостола Павла (см. Евр. 6:18-19). Некоторые исследователи видят здесь символическое выражение апокалипсического образа, относящегося к Божией Матери: «И явилось на небе великое знамение: жена, облеченная в солнце; под ногами ее луна, и на главе ее венец из двенадцати звезд» ( Откр. 12:1). Солнцем Правды Церковь называет Иисуса Христа.
Есть еще толкование: полумесяц - Чаша, в которую стекала Кровь Спасителя - символ таинства Евхаристии.

Полумесяц, это символ Византийской империи. Вот почему его и изображают на православных крестах, показывая, что это византийская, православная церковь. А когда турки захватили византийскую империю, то они переняли и её символ полумесяц, как бы показывая правопреемство турецкой империи от византийской. Захватив весь мусульманский мир, турки и распространили на них и полумесяц. Хотя еще ранее полумесяц в древнее время был символом персидской империи.

В одной книге читал, что это чаша Евхаристии.

Православные символы крест, полумесяц и т. д. появились задолго до появления религий на Земле. Даже у казаков гражданской войны, на знамёнах сохранились эти символы. Казаки основавшие Османскую-Отоманскую или Атаманскую империю, как раз и имели эти древние, православные символы, которые затем разные религии и "приватизировали", взяли символы, которые не надо было заново придумывать и которые народ уже знал, как православные. Но со временем этого знания не осталось почти. И изменили, частично, эти православные символы, для отличия религий друг от друга в т. ч. Православие - не религиозное понятие, значащее - славящие Правь.
Полумесяц символ более древний, чем мусульманство и ислам. И появился полумесяц, и как символ в т. ч., задолго до появления на Земле религий. Если есть полумесяц то, что тогда полный месяц - не понятно. А оказывается, древнее значение слова - месяц, значило луну, называемую, нашими древними предками - Месяц. Кстати, в старину, казаки носили серьгу с полумесяцем.

Иногда можно увидеть крест с полумесяцем. Иногда думают, что это символ победы православия над мусульманством. Но крест с полумесяцем известен задолго до столкновения христиан и мусульман, с первохристианских времен: здесь соединены форма креста и якоря — знака надежды. Полумесяц символизирует и евхаристическую чашу с кровью Христовой, искупающей человеческие грехи. Такие кресты устанавливают на храмах, посвященных Богородице, потому что луна, полумесяц — знак Богородицы, крест — знак солнца и символ Христа.