Любой может встать на консульский учёт?

Не, Вы сначала объясните, ДЛЯ КАКИХ ЦЕЛЕЙ Вам нужно подтверждение Вашего постоянного жительства... Конкретный пример: для налоговых целей в таких случаях нужна специальная бумажка из HMRC, называется Certficate of Tax Residency, причём его форма зависит от того, в какой стране Вы намерены его использовать (она устанавливается договором об избежании двойного налогообложения). Никакая другая гумага для налоговых целей не канает.

Вообще не нужна такая справка ни для чего.
Если вы резидент и постоянно проживаете в той стране, то вы уже негласно, там на учёте.
Если вы там турист или нелегал, то тем более, такую справку никто вам не даст.

для обмена паспорта никакой консульский учет не нужен- приходите, приносите свой внутренний паспорт и загранник, пишете заявление, оплачиваете взнос, вас фотографируют там же в консульстве и вы ждете приглашения чтобы забрать паспорт

Штамп консульского учёта ставится только тем, кто получил официальное разрешение на постоянное место жительства зарубежом. Если нет штампа ПМЖ в Вашем паспорте, то правильно не поставили штампа учёта в консульстве.

если вы живете либо по временному виду на жительство либо по постоянному виду на жительство, а паспорта меняют только тем кто имеет постоянный вид на жительства, либо особая категория консульского учета, типа военные пенсионеры ссср, им вид на жительство постоянный многие страны не дают принципиально