Можно ли перевезти с собой на пмж в США психически нездорового человека?

Нет, тут многие ошибаются!
Одно то дело - у бабушки старческая деменция ( пресенильная), а иное дело - бабушка -террористка и психопатка, садистка и хулиганка.
Кто будет потом расхлебывать это дерьмо в упавшем самолете?
Потому, если бабка -психопатка ( а в старости есть разные опасные психозы), то обязательно должна быть справка от психиатра, в том, что бабка сидит на нейролептиках тяжелых и врач-психиатр гарантирует безопасность авиаперелета через атлантику всем 300 пассажирам судна в сопровождении опекуна.
Только так!

При иммиграции нет проверки психиатра и справки от него не нужно, если бабушка пройдёт терапевта и устоит на флюорографии и анализе крови то спокойно переедет. Вопрос в другом, вы себе представляет во что вам встанет наблюдение бабушки специальным персоналом дома либо помещение ее в клинику? Потому что если вы её оставите без контроля и она себе навредит каким то образом то в тюрьму сядете вы

Такие вещи надо вентилировать с иммиграционным юристом. Навскидку, если опека оформлена документально и Вы самого начала оформления документов заявите бабушку как зависимое лицо, проблем быть не должно. Но это навскидку. Не говоря уже о том, что не очень понятно, что Вы имеете в виду, когда говорите "бабушка". Это реально бабушка основного иммигранта? Или это бабушка его детей?

Вези. У нас в России 70% жителей-психически нездоровы. Американцы это знают и снисходят.