Уравнение в натуральных числах

Ввиду симметрии очевидно, что если тройка удовлетворяет равенству, то любая ее перестановка также удовлетворяет, поэтому будем искать лишь упорядоченные тройки x <= y <= z (и о тройках, получающихся перестановками, я больше упоминать не буду) .
1) При х = 1 z = -y-1, и при любом натуральном y z – не натуральное, т. е. таких троек (с х=1) не существует
2) При х = 2 z = 3(y+1)/(y-3) и ясно, что z может быть натуральным лишь при у=4, у=5 и у=6, т. е. имеем три тройки (2,4,15), (2,5,9), (2,6,7)
3) При х = 3 z = 2(y+1)/(y-1) и может быть натуральным лишь при у=2, y=3 и у=4.
Отбрасывая первое значение как не удовлетворяющее условию упорядоченности, получаем еще две тройки (3,3,8), (3,4,5)
4) При х > 3 введем следующие обозначения:
x = 3 + dx (dx>0)
y = x+dy (dy>=0)
z = y+dz (dz>=0)
Подставив эти значения в исходное равенство и вычисляя dz, получим
dz = – (dx^3 + (6+2dy)·dx^2 + (dy^2+8dy+6)·dx+2dy^2+4dy-10) / (dx^2+(4+dy)·dx+2+2dy)
откуда видно, что при указанных выше ограничениях на dx и dy, dz < 0, что противоречит ограничению, наложенному на него. Таким образом, троек с х > 3 не существует.

Ответ: с точностью до перестановок
(2; 4; 15)
(2; 5; 9)
(2; 6; 7)
(3; 3; 8)
(3; 4; 5)

Если 4 ≤ x ≤ y ≤ z, то (1+ 1/x)(1 + 1y)(1 + 1/z) ≤ (1 + 1/x)³ ≤ (5/4)³ = 125/64 < 2 ==> x = 2 или x = 3.
x =2
y = 3 + 12/(z - 3)
(y; z) = (4; 15); (5; 9); (6; 7).

x = 3
y = 2 + 6/(z - 2)
(y; z) = (3; 8); (4; 5)