Что-то никак не соображу, как вычисляется степень числа, если она дробная?

4 в 1\2 это 2. Сначала 4 возводим в степень, равную числителю, в данном случае 1, и вычисляем корень в степени знаменателя. Знаменатель 2, значит корень квадратный.
Например: 27 в степени 1/3 это корень третьей степени из 27 в первой = 3

Числитель дроби означает показатель степени подкоренного выражения, а знаменатель знак корня. те мб а в степени 5\9, те корень 9 степени из а в 5-й.

Начнем от печки.
Сначала для любого числа a вводится натуральная степень, большая единицы. Определяется она как n-кратное произведение одинаковых множителей: a^n = a*a*a*....*a (n раз) . Далее, легко можно вывести формулу
a^(n+m) = a^n * a^m, где n>1, m>1. Затем выводим формулу a^(n-m) = a^n / a^m, где n>1, m>1, n>m. Далее, распространяем эту формулу на случай ЛЮБЫХ натуральных n и m. Отсюда получаем степень с отрицательным показателем: a^(-n) = 1/(a^n). (Попутно получаем, что a^1 = a и a^0 = 1).
Затем из определения натуральной степени получаем (a^n)^m = a^(n*m)
А теперь такой трюк: a^(n*(1/n)) = (a^n)^(1/n) = a. Отсюда видим, что число в степени (1/n), где n - натуральное, равно корню n-й степени из этого числа. Далее легко получить правило возведения числа в любую рациональную степень

Числитель - возвести в степень, знаменатель - извлечь корень.
Пример 2^(3/2)= sqrt(2^3)=sqrt(8)=2sqrt(2)

это корень

Это означает квадратный корень из 4. "Одна" обозначает степень самого числа, т. е. 4 в первой степени - это 4. "Вторая" обозначает корень этого же числа, т. е. квадратный корень из 4 - это 2. Получаеться, что 4 в степени 1/2 - это 2.
Например, 16 в степени 3/4 - это 8. Т. е. 16 в степени 3/4 = ( 2*2*2*2) в степени 3/4 = 2 в степени 3 = 8.
2 в степени 4 - это 16, а 16 в степени 1/4 - это 2.