На доске записаны числа от 1 до 30. За ход можно стереть 3 числа, сумма которых больше 58 и отлична от сумм трёх чисел, стертых ранее. A) Составьте 5
ходов B) Можно ли составить 10 ходов? C) Сколько максимум ходов можно составить?
Школы
![[ I'm Is Hope ]](https://m.sprashivalka.com/orig/4c7/de8/318/ef832.jpg?auto_optimize=high&width=128&height=128&aspect_ratio=1%3A1)
Математика. ЕГЭ, n19
[ I'm Is Hope ]
104
в) нельзя.
если на пальцах:
сумма тройки >=58
они все не равны (суммы).
за 10 ходов надо набрать суммы не менее:
58-59-60-61-62-63-64-65-66-67
в итоге сумма вычеркнутых цифр должна быть не менее
58+59+60+61+62+63+64+65+66+67=625
сумма всех чисел от 1 до 30 равна
(1+30)/2*30= 465
если на пальцах:
сумма тройки >=58
они все не равны (суммы).
за 10 ходов надо набрать суммы не менее:
58-59-60-61-62-63-64-65-66-67
в итоге сумма вычеркнутых цифр должна быть не менее
58+59+60+61+62+63+64+65+66+67=625
сумма всех чисел от 1 до 30 равна
(1+30)/2*30= 465
А) Элементарно;
Б) Нет;
В) 6.
Б) Нет;
В) 6.
Светлана Симонова
молодец -возьми пряник с полки
1)
30,25,4
29,24,7
28,23,10
27,22,13
26,21,16
2)
Вряд ли. Попробуем доказать, что нет.
Сумма всех чисел равна 31*15=465. Чтобы убрать 10 сумм >58, мы должны убрать суммарно чисел не меньше, чем на 590. У нас столько просто нет. Доказали.
3)
Все вычеркнутые тройки при лучшем раскладе должны быть минимальны, чтобы оставалось что зачёркивать. Значит, они должны составить арифметическую прогрессию (вычёркивать не обязательно именно в порядке этой прогрессии) от 59 вверх с разностью 1.
Сумма n членов этой прогрессии будет равна (2*59+n-1)*n/2
(2*59+n-1)*n/2<=465
(2*59+n-1)*n<=930
n^2+117n<=930
n^2+117n-930<=0
Корень из дискриминанта примерно равен 131,9.
Тогда n<=(-117+131)/2=7
Ответ: 7 ходов (возможно, что-нибудь не учёл - почему-то у двоих отвечающих выше получилось 6).
---
Попробовал составить 7 троек: похоже, что больше 6 действительно нельзя. Но как доказать, пока не понял.
30,25,4
29,24,7
28,23,10
27,22,13
26,21,16
2)
Вряд ли. Попробуем доказать, что нет.
Сумма всех чисел равна 31*15=465. Чтобы убрать 10 сумм >58, мы должны убрать суммарно чисел не меньше, чем на 590. У нас столько просто нет. Доказали.
3)
Все вычеркнутые тройки при лучшем раскладе должны быть минимальны, чтобы оставалось что зачёркивать. Значит, они должны составить арифметическую прогрессию (вычёркивать не обязательно именно в порядке этой прогрессии) от 59 вверх с разностью 1.
Сумма n членов этой прогрессии будет равна (2*59+n-1)*n/2
(2*59+n-1)*n/2<=465
(2*59+n-1)*n<=930
n^2+117n<=930
n^2+117n-930<=0
Корень из дискриминанта примерно равен 131,9.
Тогда n<=(-117+131)/2=7
Ответ: 7 ходов (возможно, что-нибудь не учёл - почему-то у двоих отвечающих выше получилось 6).
---
Попробовал составить 7 троек: похоже, что больше 6 действительно нельзя. Но как доказать, пока не понял.
Татьяна Пупынина(Бушманова)
14 270
Татьяна Пупынина(Бушманова)
============
Попробуем уточнить доказательство по пункту В):
Сумма всех вычеркнутых + (сумма оставшихся) равна 465. Так как осталось (30-3n) чисел, то их сумма не меньше суммы арифметической прогрессии от 1 до (30-3n) с разностью 1. Сумма оставшихся So>= (2+(30-3n))*(30-3n)/2
(2*59+n-1)*n/2+So=465
So>= (2+(30-3n))*(30-3n)/2
Вычитанием получаем
(2*59+n-1)*n/2<=465-(2+(30-3n))*(30-3n)/2
(n^2+117n) <= 930-(2+(30-3n))*(30-3n)
(n^2+117n) <= 930-2*(30-3n)-(30-3n)*(30-3n)=930-60+6n-9(10-n)^2
(n^2+117n) <= 870+6n-9(100+n^2-20n)=870+6n-900-9n^2+180n=-30+186n-9n^2
10n^2-69n+30<=0
69^2-4*10*30=3561~59,7
n<=(69+59)/20=6,4
Отсюда ответ всё-таки 6 !
Попробуем уточнить доказательство по пункту В):
Сумма всех вычеркнутых + (сумма оставшихся) равна 465. Так как осталось (30-3n) чисел, то их сумма не меньше суммы арифметической прогрессии от 1 до (30-3n) с разностью 1. Сумма оставшихся So>= (2+(30-3n))*(30-3n)/2
(2*59+n-1)*n/2+So=465
So>= (2+(30-3n))*(30-3n)/2
Вычитанием получаем
(2*59+n-1)*n/2<=465-(2+(30-3n))*(30-3n)/2
(n^2+117n) <= 930-(2+(30-3n))*(30-3n)
(n^2+117n) <= 930-2*(30-3n)-(30-3n)*(30-3n)=930-60+6n-9(10-n)^2
(n^2+117n) <= 870+6n-9(100+n^2-20n)=870+6n-900-9n^2+180n=-30+186n-9n^2
10n^2-69n+30<=0
69^2-4*10*30=3561~59,7
n<=(69+59)/20=6,4
Отсюда ответ всё-таки 6 !
Юлия Денисенко
в моем ответе в комментариях такое доказательство
почему нельзя набрать 7 ходов?
найдем сумму чисел
58+59+60+61+62+63+64=427
найдем максимально возможную сумму 21 числа (где каждое не более 30 и все различны)
30+29+...+10=420 (и это меньше 427)
итак, чтобы набрать сумму 427 надо взять БОЛЕЕ 21 числа.
что противоречит условию задачи.
почему нельзя набрать 7 ходов?
найдем сумму чисел
58+59+60+61+62+63+64=427
найдем максимально возможную сумму 21 числа (где каждое не более 30 и все различны)
30+29+...+10=420 (и это меньше 427)
итак, чтобы набрать сумму 427 надо взять БОЛЕЕ 21 числа.
что противоречит условию задачи.
А) 30, 29, 28 ; 29,28,27 ; 28,27, 26 ; 27,26, 25 ; 26,25 24
В) Да
В) Да
[ I'm Is Hope ]
Одни и те же числа нельзя использовать, их же стирают
Наташа Полено
Бредятина.
Я ему не подсказывал!
Чесно.
Чесно.
А) 30, 29, 28 ; 29,28,27 ; 28,27, 26 ; 27,26, 25 ; 26,25 24
В) Да
В) Да
30,20,8 29,11,18 24,16,19 17,23,21 22,25,12
Анна Бутковская
150
А) 30,20,8 29,11,18 24,16,19 17,23,21 22,25,12
В) Нет
С) 6
В) Нет
С) 6
Похожие вопросы
- Распишите пожалуиста сколько баллов нужно на 4 сколько на 3 сколько на 5!!! По математике ЕГЭ!
- Каков порог по математике ЕГЭ 2010 г?
- я получил 54 балла по математике ЕГЭ а какая оценка не знаю может кто подскажет?
- как оценивается вторая часть "C" по математике ЕГЭ 2012
- Подскажите пожалуйста. По математике ЕГЭ 24 балла это 3, а сколько нужно набрать баллов, чтоб было 4?
- Математика ЕГЭ 13 задание
- Возможно сдать базовую математику ЕГЭ если текущие оценки неудовлетворительные. До экзамена 3 месяца.
- Может ли администрация принуждать сдавать ЕГЭ по математике в профильном варианте?
- Егэ по математике.
- Вопрос тем кто сдавал сегодня ЕГЭ по математике (см.внутри)
182416
192515
202614
212713
222812
232911
или
30249
292310
282211
272112
262013
251914
18-24-16
19-25-15
20-26-14
21-27-13
22-28-12
23-29-11
или
30-24-9
29-23-10
28-22-11
27-21-12
26-20-13
25-19-14
почему нельзя набрать 7 ходов?
найдем сумму чисел
58+59+60+61+62+63+64=427
найдем максимально возможную сумму 21 числа (где каждое не более 30 и все различны)
30+29+...+10=420 (и это меньше 427)
итак, чтобы набрать сумму 427 надо взять БОЛЕЕ 21 числа.
что противоречит условию задачи.
не заметила, что строго больше 58))
меняем просто
в) нельзя.
если на пальцах:
сумма тройки >=58
они все не равны (суммы).
за 10 ходов надо набрать суммы не менее:
58-59-60-61-62-63-64-65-66-67
в итоге сумма вычеркнутых цифр должна быть не менее
59+60+61+62+63+64+65+66+67+68=635
сумма всех чисел от 1 до 30 равна
(1+30)/2*30= 465
с) шесть ходов тебе расписали уже ниже
почему нельзя набрать 7 ходов?
найдем сумму чисел
59+60+61+62+63+64+65=434
найдем максимально возможную сумму 21 числа (где каждое не более 30 и все различны)
30+29+...+10=420 (и это меньше 434)
итак, чтобы набрать сумму 434 надо взять БОЛЕЕ 21 числа.
что противоречит условию задачи.