Нужна срочно помощь в расстановке правильной пунктуации

Примерно так:

Долгие завывания осенней скрипки...
Сможет ли мое постепенно замирающее сердце?
Испить чашу северных краев - до дна.
Обжигающе-горячий черный чай.

Знаки препинания в конце предложения.
• точка ставится в конце повествовательных и побудительных невосклицательных предложениях (Они отправились на прогулку в лес.);
Примечание: если в конце предложения есть точка, обозначающая сокращенное слово, то вторая точка, обозначающая конец предложения, не ставится: В магазине вы можете купить ручки, тетради, карандаши и т. д.
• вопросительный знак ставится в конце вопросительного предложения (Отчего люди не летают?);
• восклицательный знак ставится в конце восклицательного предложения (Как хорошо жить на свете!);
• многоточие ставится как в конце предложения при незавершённости высказывания (Дубровский молчал... Вдруг он поднял голову, глаза его засверкали.);
Примечание: также многоточие может ставиться в середине предложения при перерыве речи. (Не хочу я... вот так.)

Тире между членами предложения.
Тире между подлежащим и сказуемым.
1. Тире между подлежащим и сказуемым ставится:
• при нулевой связке (т. е. при отсутствии глагола-связки), при этом подлежащие и сказуемое выражены именем существительным или количественным числительным в именительном падеже, инфинитивом. (Моя мама - учитель.)
• если перед сказуемым стоят слова это, вот, значит, это значит (Защищать Родину - это наш долг.)
2. Тире между подлежащим и сказуемым не ставится:
• если в роли связки используются сравнительные союзы как, будто, словно, точно, вроде как и др. (Этот дом как глыба.),
• если подлежащее выражено личным местоимением (тире в данном случае рассматривается как авторское) (Она балерина.),
• если перед сказуемым стоит отрицательная частица не (Бедность не порок.),
• если перед сказуемым стоит второстепенный член предложения, с ним не согласованный (Платон мне друг, но истина дороже.),
• если между главными членами предложения стоит вводное слово, наречие или частица (Иван тоже студент. Его отец, по-видимому, инженер.),
в предложениях разговорного стиля (Его брат студент.).
Тире в неполном предложении.
Тире в неполном предложении ставится, если пропущено сказуемое (чаще всего) или какой-нибудь другой член предложения, но его можно легко восстановить из контекста или из ситуации (Она пошла домой, он - в кино),
Если для предложения отсутствие сказуемого - норма, то тогда тире не ставится (сказуемое подразумевается и легко угадывается из содержания самого предложения): Снова в час ночной тучи над землёй.
Интонационное тире.
1. Интонационное тире ставится в месте распадения предложения на словесные группы, для того чтобы подчеркнуть смысловые отношения между членами предложения и помочь читателю правильно связать слова по смыслу (Детям - объяснить надо.)
Соединительное тире.
1. Тире ставится:
• между словами для обозначения некоего пространства (поезд Николаев - Москва), количества (купить два-три килограмма конфет) или отрезка времени (Революция 1905-1907 годов), если заменяет по смыслу конструкцию «от... до»,
• между именами собственными, совокупность которых является каким-нибудь названием (учения, научного учреждения и т. д.): закон Бойля-Мариотта, матч «ЦСКА - Локомотив».

Источник: http://russ-magic.blogspot.ru/2012/12/blog-post_1634.html

Может, после "до дна" тире?

Ошибок не обнаружено. Всё верно!

После "скрипки" нужно поставить точку, больше ничего.

Долгие завывания осенней скрипки... Сможет ли моё постепенно замирающее сердце испить чашу северных краёв до дна — обжигающе-горячий чёрный чай?

Всё норм

Долгие завывания осенней скрипки...
Сможет ли мое постепенно замирающее сердце?
Испить чашу северных краев - до дна.
Обжигающе-горячий черный чай.

Знаки препинания в конце предложения.
• точка ставится в конце повествовательных и побудительных невосклицательных предложениях (Они отправились на прогулку в лес.);
Примечание: если в конце предложения есть точка, обозначающая сокращенное слово, то вторая точка, обозначающая конец предложения, не ставится: В магазине вы можете купить ручки, тетради, карандаши и т. д.
• вопросительный знак ставится в конце вопросительного предложения (Отчего люди не летают?);
• восклицательный знак ставится в конце восклицательного предложения (Как хорошо жить на свете!);
• многоточие ставится как в конце предложения при незавершённости высказывания (Дубровский молчал... Вдруг он поднял голову, глаза его засверкали.);
Примечание: также многоточие может ставиться в середине предложения при перерыве речи. (Не хочу я... вот так.)

Тире между членами предложения.
Тире между подлежащим и сказуемым.
1. Тире между подлежащим и сказуемым ставится:
• при нулевой связке (т. е. при отсутствии глагола-связки), при этом подлежащие и сказуемое выражены именем существительным или количественным числительным в именительном падеже, инфинитивом. (Моя мама - учитель.)
• если перед сказуемым стоят слова это, вот, значит, это значит (Защищать Родину - это наш долг.)
2. Тире между подлежащим и сказуемым не ставится:
• если в роли связки используются сравнительные союзы как, будто, словно, точно, вроде как и др. (Этот дом как глыба.),
• если подлежащее выражено личным местоимением (тире в данном случае рассматривается как авторское) (Она балерина.),
• если перед сказуемым стоит отрицательная частица не (Бедность не порок.),
• если перед сказуемым стоит второстепенный член предложения, с ним не согласованный (Платон мне друг, но истина дороже.),
• если между главными членами предложения стоит вводное слово, наречие или частица (Иван тоже студент. Его отец, по-видимому, инженер.),
в предложениях разговорного стиля (Его брат студент.).
Тире в неполном предложении.
Тире в неполном предложении ставится, если пропущено сказуемое (чаще всего) или какой-нибудь другой член предложения, но его можно легко восстановить из контекста или из ситуации (Она пошла домой, он - в кино),
Если для предложения отсутствие сказуемого - норма, то тогда тире не ставится (сказуемое подразумевается и легко угадывается из содержания самого предложения): Снова в час ночной тучи над землёй.
Интонационное тире.
1. Интонационное тире ставится в месте распадения предложения на словесные группы, для того чтобы подчеркнуть смысловые отношения между членами предложения и помочь читателю правильно связать слова по смыслу (Детям - объяснить надо.)
Соединительное тире.
1. Тире ставится:
• между словами для обозначения некоего пространства (поезд Николаев - Москва), количества (купить два-три килограмма конфет) или отрезка времени (Революция 1905-1907 годов), если заменяет по смыслу конструкцию «от... до»,
• между именами собственными, совокупность которых является каким-нибудь названием (учения, научного учреждения и т. д.): закон Бойля-Мариотта, матч «ЦСКА - Локомотив».
ВОТ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ

по-моему, только перед "обжигающе-горячий черный чай" запятая
и после "... осенней скрипки " конец предложения

Долгие завывания осенней скрипки.
Сможет ли мое, постепенно замирающее сердце,
испить чашу северных краев - до дна...
Обжигающе-горячий черный чай.

Долгие завывания осенней скрипки...
Сможет ли моё постепенно замирающее сердце
Испить чашу северных краёв до дна,
Обжигающе-горячий чёрный чай?