Может ли ученик шестого класса завести общую тетрадь или общую тетрадь на пружине по математике?

Не имеешь права. И это правильно. Во-первых, такие тетради учителю тяжело носить. Представляешь, все ученики в твоем классе заведут толстые тетради - 30 тетрадей по 96 листов? 3000 листов - это 6 ТОЛСТЕННЫХ пачек бумаги. А у учителя не один твой класс, а НЕСКОЛЬКО... А во-вторых, если ты потеряешь одну тонкую тетрадь, ты потеряешь часть пройденного материала. А если ты потеряешь ТОЛСТУЮ - ты потеряешь ВСЁ. Поэтому даже в институте лучше записывать лекции в ТОНКИЕ тетради. Если, конечно, ты будешь ходить на лекции... Но это уже другой вопрос...
Учитель имеет ПОЛНОЕ ПРАВО указывать тебе, какую именно тетрадь НА ЕГО УРОКАХ использовать. Не послушаешься - имеет полное право признать, что ты НЕ ГОТОВА К УРОКУ и поставить ПАРУ. Ты этого добиться хочешь?

Завести он может что угодно, а на проверку сдавать обычную 12-листовую ))
Переписывай или не теряй. Можешь переплетать.
Может ты в следующий раз будешь все классные/домашние работы в ноутбуке держать?

Чтобы не терять, складывай закончившиеся тетради в специальную папку и храни. И пойми учителя. В средних классах положено регулярно проверять тетради с выполненными домашними заданиями. И если 25-30 учеников вашего класса заведут общие тетради, то какой толщины и веса получится стопка сданных тетрадей? А у учителя не один класс. и как же учительница понесет домой для проверки тетради, например, четырех классов, а потом снова в школу?
Вывод: думая о своем удобстве, не забывай об удобствах окружающих.
По тем предметам, тетради по которым проверяются от случая к случаю, заводи, какие хочешь.

Учитель в праве указать, какую тетрадь ты должна носить на урок.
Просто заведи себе тетрадь для теории по данному предмету, перенеси туда все записи. Домашнюю и классную работу выполняй в 12 листовой тетради.
P.S.В 10-11 классе вы всё равно заново всё проходить будете

Ты можешь завести, и имеешь на это право, а вот они не имеют права не проверять.