Могу ли я поставить запятую перед союзом и, если первая часть сложная двусоставная, а вторая тоже...

Конечно, нужно поставить запятую, ведь предложение сложное. Я бегал по утрам, и мне мерещилось...

30. Запятая в сложносочиненном предложении
1. Запятыми разделяются предикативные части сложносочиненного предложения (простые предложения), между которыми стоят союзы:

1) соединительные союзы [и, да (в значении и), ни… ни]:

Песок блестит на солнце тёплым, жёлтым блеском, и на его бархате прозрачные здания подобны тонким вышивкам из белого шёлка (М. Г.); Получив известие о болезни Наташи, графиня, ещё не совсем здоровая и слабая, с Петей и со всем домом приехала в Москву, и всё семейство Ростовых перебралось от Марьи Дмитриевны в свой дом (Л. Т.); Оглянитесь вокруг, и увидите столько нового и интересного (Газ.) — сложносочиненное предложение (глагольные формы разных наклонений не выступают в роли однородных членов простого предложения); Наташа говорила шёпотом, да и дед и лесничий тоже говорили вполголоса (Пауст.);

Примечание. Перед союзом и запятая ставится также в тех случаях, когда он присоединяет предложение, в котором подлежащее выражено личным местоимением, относящимся к подлежащему первой части сложносочиненного предложения или повторяющим его: Вдали по-прежнему машет крыльями мельница, и всё ещё она похожа на маленького человечка, размахивающего руками (Ч.); Ты всегда был строг ко мне, и ты был справедлив (Т.).

Но: Автор прочитал корректуру и сам внёс нужные исправления — предложение простое, а слово сам не является подлежащим.