С какой целью зародилось школьное образование - требовались квалифицированные рабочие, чтобы детей где-то оставить ?

Ликбез (ликвида́ция безгра́мотности у населения) — массовое обучение неграмотных взрослых чтению и письму в Советской России и СССР. В переносном смысле — обучение неподготовленной аудитории базовым понятиям какой-либо науки, процесса или явления.

Исторически термин «ликбез» возник как сокращение названия государственной программы Советской России по «ликвидации безграмотности», начало которой положил декрет Совета народных комиссаров РСФСР «О ликвидации безграмотности в РСФСР» [1] от 26 декабря 1919 года. Согласно декрету, всё население Советской России в возрасте от 8 до 50 лет, не умевшее читать или писать, было обязано учиться грамоте на родном или на русском языке (по желанию). Народному комиссариату просвещения предоставлялось право привлекать всех грамотных лиц к обучению неграмотных на основе трудовой повинности.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ликбез

общество стало богаче и родители могут кормить здоровых оболтусов, в надежде, что те смогут получше устроиться в жизни. Не будь излишков, человек в 10-12 лет уже работник.

Прежде всего, это был результат борьбы за права и здоровье детей. В общем-то, детей стали считать цветами жизни и трястись над ними совсем недавно, с исторической точки зрения это просто ничтожный срок. Долгое время их рассматривали в качестве дешёвой рабочей силы (ну, если не брать тонкую прослойку знати). Потом человечество дозрело до понимания антигуманности такого подхода, и через мыслителей-гуманистов какое-то время формировалось общественное мнение о его неправильности. Постепенно проталкивалась мысль о том, что любой ребёнок должен иметь право на образование, а использование детского труда должно быть запрещено. Проще и логичнее осуществлять данное право было в специальных учебных заведениях, как это делали древние греки - тут велосипед изобретать не пришлось. Экономический аспект - то, что понадобились квалифицированные кадры - лишь ускорил процесс. И в XX веке всеобщее право на образование уже стало восприниматься как естественное право цивилизованного общества.

"не с кем оставить" - это не причина.
во-первых дети не целый день в школе
во-вторых раньше дети работали с 12 лет, а в деревне и ещё с более раннего возраста.
зарплаты мужчины хватало, чтобы содержать жену и детей.
школьное образование зародилось в промышленно развитых Чехии и Германии, и причина была в подготовке квалифицированных кадров для производства.

Чтобы люди могли пользоваться интернетом и правильно отвечать в Ответах Мэйл. ру