залить пустоту под новой железной дверью

Мыши нисколько не боятся монтажной пены. Это для них не преграда - прогрызут за час.
В вашем случае необходимо забетонировать пустоту. Если использовать пену (временно забудем про мышей) , то просто наступая на это место, через некоторое время пена сомнется и опять образует ямку.
Для приготовления бетона вам потребуется цемент, песок или отсев. В соотношении 1 часть цемента на 3-4 части песка (лучше-отсева) замешайте смесь в сухом состоянии (в сухом состоянии ее легче размешивать) .
После этого начинайте понемногу добавлять воду, мешая массу. Консистенцию нужно довести до состояния мягкого теста - должно быть гуще, чем сметана, но жиже чем крутое тесто.
Ямку смачиваете водой. После этого заполняете ее бетоном. Постарайтесь заполнить как можно плотнее. Воспользуйтесь палкой для "утыкивания" бетона. Чем меньше воздушных пор будет внутри, тем прочнее будет ваша конструкция. После заполнения, ровной дощечкой выровняйте поверхность.
Через сутки, когда бетон схватится, положите сверху ненужную тряпку, или посыпьте опилками и обильно смочите это всё водой. Это нужно для более прочного схватывания бетона. Смачивайте бетон еще минимум трое суток. Желательно дольше (по возможности) . Полную крепость бетон наберет через 28 суток.

цемент в ведре размешать можно. песка добавить не забудь.

можно запенить-непонятно ток что за дыра-под порогом?

Сначала обязательно нужно понять, где будет верх плитки, затем карандашиком отметить ниже на толщину плитки. Затем ещё немного ниже заполнить цементом, разведённом в ведре - лучше в пластиковом, потом отмыть легче. Подождать день пока цемент высохнет, потом сверху положить тонкий слой плиточного клея и вмять в него плитку. Плитку можно на ночь в ведро с водой положить - так лучше приклеится. Потом ещё затирка нужна. Когда всё высохнет все щели протереть затиркой, можно цветной.