Начал играть в 1941 году в Москве в юношеской команде «Спартака» . Впервые появился в составе главной команды в августе 1942 года.
В 1943 году присоединился к тренировкам футболистов ленинградского «Зенита» , которые проходили в Подлипках. Основной состав «Зенита» оказался там вследствие эвакуации из блокадного города. Помимо тренировок, команда проводила товарищеские игры, принимала участие в Кубке Москвы [8].
В 1944 году вместе с командой завоевал Кубок СССР. По пути к финалу был обыгран московский «Спартак» , а Сальников стал со-автором победного гола. В финале ленинградцы одолели признанного фаворита — московский ЦДКА. На этот раз Сальников забил решающий мяч в ворота армейцев. За «Зенит» Сергей отыграл и первый послевоенный сезон 1945 года. По итогам сезона стал лучшим бомбардиром команды, забив восемь мячей, что в итоге помогло ей занять шестое место.
В 1946 году вернулся в «Спартак» , где играл до 1949 года.
С 1950 года оказался в составе московского «Динамо» . Поначалу спартаковцы считали это предательством. Но вскоре выяснилась истинная причина побега Сергея. Был арестован отчим, и Сальников, полагая, что может облегчить его участь, перешел в «Динамо» .
Как только отчим вышел на свободу, Сергей вернулся в «Спартак» . За это его лишили звания «Заслуженный мастер спорта» [7], но через три месяца в звании восстановили.
Завершил карьеру в 1960 году и уже со следующего года работал тренером в командах мастеров.
