Если я выхожу на работу на не полный рабочий день,ребенку 1,3 года...

Статья 93 ТК РФ. Неполное рабочее время
По соглашению между работником и работодателем могут устанавливаться как при приеме на работу, так и впоследствии неполный рабочий день (смена) или неполная рабочая неделя. Работодатель обязан устанавливать неполный рабочий день (смену) или неполную рабочую неделю по просьбе беременной женщины, одного из родителей (опекуна, попечителя) , имеющего ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет) , а также лица, осуществляющего уход за больным членом семьи в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.
При работе на условиях неполного рабочего времени оплата труда работника производится пропорционально отработанному им времени или в зависимости от выполненного им объема работ.
Работа на условиях неполного рабочего времени не влечет для работников каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав.
Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком
Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.
По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
Кто пособие оформил?

Она не будет получать пособия, если вы от него не откажетесь. Ведь вы не на полный день собрались выйти, значит, пособие вам сохраняется.
Вот если вы выйдете на полную ставку, то проблем никаких. Бабушка оформит отпуск и пособие ей платить будут

Нет. В этом случае у вас сохраняется право на оплату отпуска по уходу за ребенком, помимо того, что вы будете получать зарплату. Для того, чтобы бабушка могла воспользоваться этим отпуском вам надо выходить на полный рабочий день.