должен ли ЖКХ оплатить ремонт машины, если на нее упало их гнилое дерево?

через суд. составляйте исковое заявление, приложите сумму ремонта оценки в автосервисе. и вперед. а госпошлину оплатите.

«Если на капот села лошадь»
(или от каких рисков мы защищаем, а от каких — нет)

Да, вы все слышали о том, что каско защищает автомобиль от угона и ущерба. И это так. Но не все знают, что большинство страховых случаев происходит НЕ в результате столкновения двух автомобилей. Посмотрим на конкретных примерах, как каско защищает ваш кошелек от лишних расходов.

Мы платим по договору каско, даже если:

упавший с крыши кирпич повредил ваш автомобиль;
в результате урагана на машину упало стоящее рядом дерево;
упавшая с крыши сосулька отскочила и повредила автомобиль (лакокрасочное покрытие, например) ;
сильный град помял капот и крышу;
на стоянке автомобиль был сильно поцарапан другим автомобилем;
машина была разрисована уличными хулиганами;
на стройке внезапно рухнул башенный кран и «помял» автомобиль;
футбольные фанаты после очередной победы (ну или поражения) любимой команды повредили машину;
праздник закончился взрывами петард и фейерверками, которые повредили лакокрасочное покрытие;
и многое другое.

Это лишь малая часть убытков, которые возмещаются нашим договором страхования каско.
http://www.rgs.ru/products/private_person/auto/casco/all/index.wbp
З. Ы. каско нужно покупать страховку. ЖКХ вам точно так же и ответит, и все вам точно так же ответят. Никак вы ЖКХ не нагнете -100% (на форсмажор спишут, ходить и светить рентгенографией деревья никто не будет)

обязан

Нет. В том, что вы неправильно припарковались виноваты исключительно вы.
А дерево не принадлежит ЖКХ, они конечно могут его обслуживать (подрезать ветки) , но в исключительных случаях, когда это грозит зданию.