Насчёт собеса и выплаты за первого ребёнка. Если родитель работает не по трудовой, она у него на руках, может ли он

самое главное определиться, как он получает зарплату, если хоть 1 копейка "белая", то написать, что он не работет не имеете право, так как
Если вы в заявлении на выплату напишете что отец не работает, вас заставят предоставить выписку из индивидуального лицевого счета (пенсионного фонда) о том что нет отчислений за него. Но если хоть одна копейка в "белую" начисляется ему, то организация значит за него сдает сведения в ПФР и соответственно отчисления будут и собес вас заставит предоставлять справку с его работы, что единовременную выплату на рождение ребенка он там не получил. Так же собес заставит вас предоставлять справку о доходах с его работы, для определения вашего (семейного) благосостояния, так как ежемесячная денежная выплата на ребенка (пособие) выплачивается только в случае не достижения совокупного дохода семьи до установленной в вашем городе социальной нормы. в Москве на январь 2009г. эта норма 6000 руб. на каждого члена семьи.
Врать собесу нет смысла, все равно дороются.
Проще, если ваш муж и вправду работает на "конверт" то тогда отчислений в пенсионном фонде будет -0 и тогда собес начислит выплаты. Да и еще собес, в случае подтверждения мужа безработным, затребует справку с органов занятости, что он там не состоит на учете как безработный.
Помогай вам Господи!

может и нужна справка с биржи что не состоит на учете

Написать можно что угодно. По факту родители НЕРАБОТАЮЩИЕ трудоспособные граждане.

Что за "Выплаты" от РУСЗН (собес) ? Ежемесячное пособие на дитенка?

Если да, то потребуют либо справки о средних заработных платах, либо справочки из РУЗН (биржа труда) .

Просто неработающим (!) родителям соц. пособие на дитенка не выплачивается.

Если оба родителя официально безработные, то вряд ли? Но все же лучше обратиться непосредственно в райсобес. Там консультируют по таким вопросам бесплатно.

Конечно может. Никто же не проверяет...