Почему и когда бежали цыгане из Индии (да и из Индии ли ?) ?

У Гумилёва где-то со ссылкой на другие старые источники - что из Индии.
Были там специфическим народом-кастой вроде Сикхов, во время своеобразной "революции" бОльшую чсть вырезали. Т. е. не факт что оставшиеся обладают характерными чертами. Язык точно индо-арийский.

Когда сильный и могущественный Тимур-бег или Тамерлан, под предлогом истребления идолов, покорил в 1399 году северо-западную часть Индии, и прославил свои победы беспримерной жестокостью, дикое племя разбойников, называемое цынганами и обитавшее в Гузурате и в особенности около Татты, спаслось бегством и вышло из Индии. Сие племя, состоящее из полумиллиона людей и владевшее несметными сокровищами, называлось на своём языке гузуратском Ром ..

А они не бежали. Цигане действительно народ живший между реками Цинг и Ганг. Каста храмовых проституток и музыкантов. Они жили бедно. В какой то момент Византия провозгласила Римское "хлеба и зрелищ" и так как Константин запретил гладиаторов, в моду вошли паяцы. Своих в империи катастрофически не хватало, и тут впору пришли цигане. Сначала их вывозили семьями а после они потянулись сами. После того как в индии случилась чума или холера, они хлынули все. Так цигане приобрели новую родину, которая им пришлась по вкусу. Их не обижали и сытно встречали. Как факт этого они забыли свою первую родину и стали себя называть Ромы ( римляне) . После распада Византии цигане разделились на кланы и разошлись в разные стороны света.

В Азии говорят, что восточных Тимур завез целыми селениями.

Хотя накой они ему усрались?

Алексеё всё написал точно, но назывались они тогда не ЦЫГАНЕ, а ЦИНГАНГИ. По названиям двух рек.