Почему мусоров называют легавыми?

У этого прозвища еще дореволюционная история, возникшая от того что сотрудники уголовного сыска для конспирации часто маскировались под членов охотничьего общества и носили на одежде нашивки с изображением собаки легавой породы.
Символ легавой собаки некоторое время так же использовался и после революции, по одной из версий жетон с легавой собакой был лицевой стороной служебного знака-удостоверения. Сам же знак-удостоверение прикручивался к лицевому жетону и носился с внутренней стороны верхней одежды.

На лацкане пиджака сотрудники московской сыскной полиции носили знак с надписью «МУС» — Московский уголовный сыск. Отсюда на жаргоне производное «МУСОР» (а не от бытовых отходов, в разрез бытующему мнению) , один из вариантов МУСОРГ, множ. «мусорга» . По другой версии, за лацканом пиджака, сотрудники сыскной полиции, носили неофициальный знак «Бегущая легавая собака» (от этого, жаргонное прозвище сыскных агентов — «Легавые») . Жаргонное прозвище сыскных агентов Москвы — «МУСОР» происходит от сокращения места службы — Московское Управление Сыскного Отделения России.

При царе в России полицейским сыщикам вместе с удостоверением выдавался нагрудный значок, где была изображена собака легавой породы - что означало, что они выслеживают и преследуют преступника, как легавые собаки - дичь...

Это и школьник знает. В царской России полицейские носили жетоны с изображением головы легавой собаки.

легавая-порода охотничья с хорошим нюхом и быстро бегает

Московский Уголовный Сыск это еще от царской России!

Я, не называю, нужно гер полицай

собаки такие есть, ищейки