Слово "мент" произошло от слова "милиционер" - а как произошло слово "коп"? Вроде с полицейским ничего общего

Точно никто не знает, есть несколько вариантов :
CoP - сокращение от Chief of Police (шеф полиции) .
CoP - от восьмиконечной медной звезды, которую когда-то носили нью-йоркские полицейские. Медь звучит по английский именно так: «коппер» .
Другие полагают, что от слова «кош — это первые буквы английского словосочетания «патрульный полицейский

А что уже достаточно 1 общей буквы для происхождения слова?

Ну насчёт америкосов - они сами не знают, вариантов масса. А вот слово "мент" произошло отнюдь не от слова "милиционер":
словарь неформалов

Мент, сущ, м. р.
значение: миллиционер.
синонимы: тупой с дубиной.

Слово «мент» ещё в дореволюционном арго использовалось для обозначения сотрудников полиции и мест лишения свободы. В Западной Европе ментами раньше называли плащи, которые носили полицейские. Потом, это слово пришло в Польшу, а потом дошло до России. Открыто это прозвище в СМИ начали употреблять с начала 90-х годов прошлого века. Но к концу 90-х милиционеры настолько «привыкли» к этому прозвищу, что стали так называть и друг друга, не считая это оскорблением. Необычную расшифровку этому слову дал замминистра внутренних дел Михаил Суходольский. «Мент» , по его словам, можно расшифровать как «мой единственный надёжный товарищ» . Но скорее всего, слово «мент» произошло следующим образом. В дореволюционной России обмундирование жандармерии и полиции было скопировано у румынской полиции. Плащ-накидка, как это бы назвали сейчас, у румын называлась «мент» . В России же она называлась «ментик» («ментиком» также называлась плащ-накидка гусар, а у жандармов она была похожа на гусарскую) . Вследствие этого, по-видимому, работников полиции и жандармерии и прозвали «ментами».

это американцы придумали... еще их фараонами называют, легавыми

cop=copper=производящий арест.

Committee of Public Safety - COP

c.o.p.
какой то там офицер полиции

В английском как один из переводов слова полицейский предлагается cop