Как долго хранятся данные по тестам на серверах учебного заведение (НЕ школа)?

Вообще тут очень многое зависит от характера людей и может от самой системы тестов. Все очень индивидуально.
Данные могут храниться сколь угодно долго, главное, чтобы носитель информации был цел. Но иногда данные могут очищать для экономии места.
В принципе к админу можешь сходить, но не факт, что ты к нему даже в кабинет попадешь. Объяснишь ситуацию и будешь надеяться на его милость
Я бы сформировал точные претензии, вспомнил конкретные вопросы и свои ответы и пошел бы с ними преподавателю. Но чтобы это сделать, надо проверить свои ответы, найти доказательства, что твой ответ верный (а то будет не очень здорово, если это окажется, что это твой косяк) . Если совсем отпираться будет, то можешь пойти дальше к зав. кафедры например (но это если ты совсем недоволен, поскольку ходить так по головам не очень здорово)

Не понял.

Ты считаешь, что в тесте правильными считаются не те варианты?

Вопрос "сколько хранятся" нужно задавать не сюда, а ответственному за эти самые тесты.

Во-первых: Ты не в праве изменить глобально через код страницы и консоль разработчика т. к. не являешься им. Ты лишь изменишь данные для себя и то до следующей перезагрузки.
Во-вторых: По поводу того ка доказать преподавателю я не знаю. Подумай сам как можно е (й) /(му) это доказать.