Недавно сгорел мой бесперебойнник и я купил новый. Если старый я постоянно держал включенным, то его хватило на 3 года,

Цена вопроса. Основная масса ИБП передаёт входное напряжение сети на выход, по так называемому байпасу (обходному пути) и только в случае пропадания входного напряжения или снижения его до заданного уровня в ИБП, начинает преобразовывать напряжение аккумуляторной батареи в переменное 220 В. В зависимости отёмкости батареи находится время работф ИБП, конечно при учёте потребляемой мощности. Это так называемые самые дешёвые ИБП off-Line. Есть более дорогие, постоянно работающие на преобразование -on-line. Как правило, 99% неисправностей связано с выходом из строя аккумуляторной батареи. Они больше 3-4 лет не работают.

А он таки сгорел или батарея села? А то купи батарею за 400 рублей и вуаля.

Конечно лучше выключать... меньше пыли сядет...

Лучше не выключать. Собственное потребление у него минимально.
А вот при выключении любая электроника остывает, и влажная
атмосфера плюс неизбежная пыль при включении прибора могут дать пробой.

В принципе, на Ваш вопрос уже ответили. От себя добавлю только одно: 90% поломок приходится именно на момент включения, после включения во всех электронных узлах устройства протекают переходные процессы, и только после того, как все переходные процессы заканчиваются, устройство переходит в рабочий режим. Из вышесказанного следует - ИБП лучше не выключать, в режиме ожидания потребление минимально. И еще... у всякой техники есть свой срок службы, который гарантирован производителем, в паспорте устройства написано подробно. Удачи!