Можно ли включить трансформатор 50Гц в сеть 50 килогерц

Сначала поправлю Гудвина. Чем выше частота или число циклов перемагничивания тем больше противодействие росту тока в обмотках трансформатора. Номинальные килоАмперы превратятся в мили- или микроАмперы. Притом же напряжении сети мощность сильно упадет. Чтобы обмотки сгорели нужно чтобы частота стремилась к нулевому значению а сопротивление обмотки к чисто активному при том же напряжении. Вот тогда ток действительно вырастет.
Для трансформатора с определенной величиной напряжения и частотой 50 Гц выбирается железо, обеспечивающее на кривой насыщения номинальные параметры. Насыщение прямо пропорционально приложенному напряжению и обратно пропорционально частоте сети. При переходе на частоту в 1000 раз выше номинальная точка на кривой насыщения спустится где то на начало насыщения. Железо трансформатора исключится из работы. Мощность трансформатора тоже будет близка к нулевой.

Включить можно, но работать не будет или будет с крайне низким кпд.

У нас появились сети 50 Кгц? Ну хоть в этом мы на мировом уровне,

можно

На 50 Гц, это низкочастотный трансформатор, и он не будет работать на такой частоте, для этого существуют высокочастотные тр-ры.

Будет работать как лампа накаливания. Т. е. будет очень сильно греться и иметь кпд не более 5%. Изза нагрева магнитопровода произойдёт нагрев обмоток и может выйти из строя изоляция, а это к. з. и полный выход из строя трансформатора.

можно