Можно почистить от накипи стиралку таким же способом, как чайник?

Вобщем так. Калгон - "свисток от крокодилов"(Некто стоит на улице и дует в свисток, чтобы отогнать крокодилов. "Но здесь нет крокодилов. - Потому и нет, что отгоняю! "). Те же самые вещества, что он содержит (сода и триполифосфата натрия) , входят в состав любого стирального порошка.
Если стираете обычно при температуре 30 - 40*С, то накипь на ТЭНе вообще вряд ли образуется - соли жёсткости выпадают в осадок в тем большей степени, чем выше температура воды, их содержащей. Если всё же иногда ставите режим 90*С или вода в Вашей местности ну о-о-чень жёсткая, то можете провести процедуру так же, как для чайника.
Засыпаете в машину лимонную кислоту - пару пачек и гоняете пустую (без белья) машину по полному циклу при максимальной температуре. Очень часто эту процедуру делать не надо, максимум раз в полгода - лимонка действительно негативно влияет на металл. А лучше всего применять антинакипин для стиралок : ВОТ ЭТОТ хвалят. Способ применения тот же, как и лимонки.

Проще не допускать появление накипи добавляя при стирке калгон.

Разбирал старые стиралки-нет там накипи.

Засыпать и вскипятить?

можно, просто ты это не увидишь ...

Можно. Будет блестеть. И вы это вскоре увидите, когда после таких чисток придется менять подшипники. У меня - от 3200р. , расценки по регионам немного отличаются.