как им это удалось?

Не знаю, насколько это относится к пилотируемой космонавтике, но вопросы управления вполне решаются аналоговыми средствами. Можно сложить, вычесть, умножить, проинтегрировать, решить диффуры (и многое другое) вполне безкомпьютерными средствами, и на их основе построить подходящее для задачи решающее устройство. Может и не абсолютной, но приемлемой точности. Это не привязано к тактированию, машинным циклам, и часто можно получить мгновенный ответ.

ЭВМ были на лампах Размером с пятиэтажку, но тем не менее вычислять было можно довольно сложные алгоритмы....

Раньше люди сами думали и считали.

Вот с помощью этих огромный ЭВМ и рассчитывали!

так

Уже третий спутник обсчитывали специализированные ЭВМ "Кварц" на феррит-диодных ячейках. На смену им пришли машины "Темп-1" и "Буфер".
Когда я служил на станции "Кама", "Буфер" был у нас за стенкой.

искали пути и решали задачи тем что есть бэсм-6 была довольно продвинутой машиной

при полёте ракеты, компьютер не должен дофига высчитывать, всего одну формулу

где dψ/dt - угловая скорость вектора скорости ракеты;
ψ - угол пути ракеты;
dχ/dt - угловая скорость вращения линии визирования;
χ - азимут линии визирования;
k - коэффициент пропорциональности.

20-50 тыс. операций в секунду (БЭСМ-2, М-20, М-50 и др.) -это уже не ручная работа. А вот расчеты по атомной бомбе (40-е годы) действительно выполняли сотни женских рук.

По Дискавери говорили, что на Аполлоне, который летал на Луну был компьютер по мощности соизмеримый с современными калькуляторами.
А вот же сподобились слетать. :-)