В каких случаях необходимо применение промежуточных реле?

Основное назначение - размножение контактов, для реализации схемы. Может быть общим названием реле (типа РП-), которое используется по функциональному назначению (выходное реле, реле команд и т. д.)

или для управления мощными реле или контакторами..
так называемый "релейный усилитель"...

Когда исполнительные цепи требуют большие токи, чем могут пропустить контакты одного реле....

Для развязки цепей, имеющих разные характеристики тока (силовые от слаботочных, переменный ток ↔ постоянный, низкое напряжение ↔ высокое и т. д).

Промежуточные реле применяют там, где в слаботочных цепях требуется управление мощными цепями и нагрузками!)))

Коэффициент управления по мощности. Сейчас редко применяют промежуточные реле; и в этом виновны тиристоры и симисторы. Мало того, что коэффициент управления по мощности велик, но и очень заметно выросло максимальное количество включений/выключений (хотя этот параметр заменён другим - количество часов наработки), отсутствие переключающихся контактов (комбинация и рекомбинация электронов в полупроводнике).

Когда выходной каскад не может выдать ток, для переключения мощного реле.
Когда требуется гальваническая развязка по выходу (по ТЗ на оборудование), а к выходу подключили реле. Тогда внутреннее реле оказалось промежуточным.
Когда допустимые напряжения (токи) превышают таковые для однорелейной схемы.
Когда система управления выполнена таким образом, что применение двухрелейной схемы повышает надежность работы выходного каскада.
Другие возможные случаи, непредусмотренные на этапе проектирования.

Функции
-размножение контактов,
- инверсия
- усиление
- гальваническая развязка