Отличается ли по своему составу холодная и горячая вода в кране?

Да отличается.
Хотя горячую нагревают из той же холодной.
В процессе нагрева и прохождения в нагревателях, бойлерах в нее попадают посторонние дополнительные примеси.
Например умягчители, для воды, чтобы бойлеры не забивались накипью.

если у вас нормально устроено отопление, то к вам приходит горячая не из котельной или тЭЦ, а с местного теплового узла, где обычная холодная просто греется до 70 горячей водой с ТЭЦ. Вот вода, идущая с ТЭЦ - она "улучшенная", с добавлением солей, останавливающих коррозию.

отличаются как небо и земля

До бойлерной одна труба. Так что состав может отличаться лишь из-за того, что горячие трубы сильнее корродируют.

Откуда нам знать, отличается у вас или нет, все зависит от системы нагрева воды в котельной, есть такая, что вода только получает энергию, и в нее ничего не добавляют, а есть наоборот с добавками типа каустика, или еще какая дрянь, чтобы котлы не забивались, узнайте в своем районе откуда вы получаете горячую воду....

Нет. Это одна и та-же вода.

У меня нет.

Горячая вода из ТЭЦ отличается по составу не в лучшую сторону. Если у вас свой водонагреватель то разницы никакой нет

В холодной воде 25% биологически активной (пара изомера воды), а в горячей меньше, при 100 град практически 0. но нечего боятся равновесие 1/3 восстанавливается в течении 1-2 час при охлаждении ниже 50 град.
При температуре ниже 10 град равновесие сдвигается в сторону пара (живой) воды.
см. Пара-Орто вода био свойства.