Для чего нужна распределительная коробка для проводки и как ее приделать к стене?

Без коробки нельзя: даже заизолированное соединение может начать корродировать из-за влаги, что насосет стена. Абсолютную 100% герметичность можно получить только с применением герметичных муфт. И то только при сращивании 2х концов кабеля между собой, а если ты делаешь распайку освещения или ответвление - то получится пучок, который все равно придется в какую-то коробку паковать.

Как приделать к стене?

Коробку для наружного монтажа как обычно, на дюбели.
Коробку для скрытого монтажа можно просто прилепить на гипс (алебастр) в выдолбленное под нее углубление в стене.

Даже скрытую коробку не следует замуровывать наглухо толстым слоем штукатурки, нужно оставить доступ к крышке, чтоб в случае аварии (прогорания соединения) можно было ее без капитальной долбежки стены открыть и отремонтировать соединение.

Скрутка имеет свойство подгарать, поэтому в коробках делают запас.

Проще

"не проще ли будет просто провода скрутить и хорошо заизолировать и оставить без коробки?"
Проще, но вся эта тряхомудия будет портить пейзаж своим видом.

"На что ее крепят к стене"
Гвоздём прям посерёдке.

"Для чего нужна распределительная коробка"
Шоп скрыть места соединения, но оставив возможность лёгкого доступа к нему.

Для облегчённого доступа к соединениям.
Крепёж или шурупами (на дерево), или раствором (утопленная), или дюбель-гвоздями (на бетон, кирпич).

Для удобства доступа, безопасность, нормы, ну и использование автоматов предохраняет линию от перегруза.

На жевачку приделай и не жужи

Вы с вопросами покупки определились уже или ещё нет? Могу посоветовать этот сайт https://www.optimant.ru/ рассмотреть в самую первую очередь. Там большой выбор и быстрая доставка.