Какой вес выдержит балка из уголка 125х125х8 на пролёте 4,1 метра, если вес приложен (сосредоточен) в середине балки?

Больше тонны уже плохо, да и тонна прогиб великоват
Это в случае плавающих концов (просто лежит на опорах, концы уголка не закреплены). Если закрепить, то выдержит гораздо больше, но расчёт нужно делать уже всей фермы...

Учи сопромат.

Сдал сопромат - можно жениться
(с) Студенческая мудрость
Варианты: термех, тервер...

Уголок сам себя, если один

Во-первых, нужно выяснить, чтО означает "Какой вес выдержит?". Если балку будут использовать лишь один раз, то надо рассчитывать её на разрыв: не будет разрушаться - ладно. Максимально допустимая нагрузка - немного меньше нагрузки на разрыв. Если балка будет использована многократно, то допустимая нагрузка несколько (4 - 5) раз меньше разрушающей нагрузки.
Во-вторых, нужно знать способ крепления балки на опорах. Возможны случаи:
- балка может перемещаться свободно, или один конец сидит на шарнире, другой - свободно перемещается;
- оба конца сидят на шарнирах;
- один конец защемлён в стене, другой - свободно перемещается и т.д.
Для каждого из этих случаев есть формулы в учебниках сопромата.

Огромный.

Как расположен уголок на плоскости? L или Λ (Г или V).
От способа расположения зависит.
Какие требования по коэффициенту запаса по прочности?
Если принять его 1,5, то не более 340 кг и 272 кг соответственно.
Это если не вдаваться в подробности.
Дополню ответ.
Прогиб уголки при этом будет 8 и 16 мм соответственно.