Я управляю машиной по доверенности. Могу ли я передать управление машиной в своем присутствии третьему?

Нет, не можете. Только если Ваша доверенность с правом передоверия, и Вы оформили третьему лицу передоверие, заверив его нотариально. Согаслно ГК РФ:
"Статья 187. Передоверие
1. Лицо, которому выдана доверенность, должно лично совершать те действия, на которые оно уполномочено. Оно может передоверить их совершение другому лицу, если уполномочено на это доверенностью либо вынуждено к этому силою обстоятельств для охраны интересов выдавшего доверенность.
2. Передавший полномочия другому лицу должен известить об этом выдавшего доверенность и сообщить ему необходимые сведения о лице, которому переданы полномочия. Неисполнение этой обязанности возлагает на передавшего полномочия ответственность за действия лица, которому он передал полномочия, как за свои собственные.
3. Доверенность, выдаваемая в порядке передоверия, должна быть нотариально удостоверена, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 4 статьи 185 настоящего Кодекса.
4. Срок действия доверенности, выданной в порядке передоверия, не может превышать срока действия доверенности, на основании которой она выдана. "
Потому в таких случаях проще написовать рукописную доверенность на управление якобы от владельца авто - по сути незаконно, но удостовериться в ее подлинности на дороге гаишники не смогут.

Нет.
Согаслно ГК РФ:
"Статья 187. Передоверие
1. Лицо, которому выдана доверенность, должно лично совершать те действия, на которые оно уполномочено. Оно может передоверить их совершение другому лицу, если уполномочено на это доверенностью либо вынуждено к этому силою обстоятельств для охраны интересов выдавшего доверенность.
2. Передавший полномочия другому лицу должен известить об этом выдавшего доверенность и сообщить ему необходимые сведения о лице, которому переданы полномочия. Неисполнение этой обязанности возлагает на передавшего полномочия ответственность за действия лица, которому он передал полномочия, как за свои собственные.
3. Доверенность, выдаваемая в порядке передоверия, должна быть нотариально удостоверена, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 4 статьи 185 настоящего Кодекса.
4. Срок действия доверенности, выданной в порядке передоверия, не может превышать срока действия доверенности, на основании которой она выдана. "
Потому в таких случаях проще написовать рукописную доверенность на управление якобы от владельца авто - по сути незаконно, но удостовериться в ее подлинности на дороге гаишники не смогут.

Смотря что в доверенности написано, если "управлять", это одно дело, если "распоряжаться" это другое.

по генеральной да, по рукописной нет

Если доверенность без права передоверия - то не можете. Право передоверия может быть только в доверенности, выданной нотариально и должно быть указано прямо.

Нет.. ) Если это не Генеральная доверенность ..)

ПДД
2.
2.1. Водитель механического транспортного средства обязан:
2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников милиции передавать им, для проверки:
"....-документ, подтверждающий право владения, или пользования, или распоряжения данным транспортным средством, а при наличии прицепа — и на прицеп — в случае управления транспортным средством в отсутствие его владельца; "
Документ (доверенность) и сам человек имеющий эту доверенность в авто находится, страховой полис без ограничениий есть, ВУ у водителя есть, значит все условия соблюдены и можете спокойно ехать.

нет нужна доверенность с правом передоверия
её нужно заверять у нотариуса

да можете если доверенность это позволяет и забудьте наконец такое понятие как генеральная доверенность ( такой не существует) есть доверенность в простой письменной форме и есть доверенность заверенная нотариусом, на осуществление описанных в доверенности действий. и по закону они имеют одинаковую юридическую силу (не во всех случаях, но в области дорожного движения во всех) .
По простой письменной доверенности можно продать машину и квартиру. нотариус лишь является гос гарантом что воля доверителя является таковой и добровольной.

Только если он вписан в страховой сертификат.

Только если этот самый "третий" имеет водительские права.

нет