Обязательно ли на автомате в режиме parking заводить автомобиль с выжатой педалью тормоза

С коробкой ничего не будет, тк положение P выводит состояние соляноидов из команды подачи давления фрикционов на их сцепление. Т. е. гидравлика коробки в этот момент почти спит, за исключением гидротрансформатора, который вращается жестко с так называемым маховиком (да там даже не маховик, а кронштейн жесткого крепления гидротрансформатора к коленвалу.).
Но у некоторых авто стоит электронная блокировка, т. е. пока тормоз не нажмешь - авто не заведётся. Это типа защита от дураков, пытающихся сломать АКПП неправильными действиями или неправильной последовательностью действий в момент пуска двигателя.

это необходимость на многих авто и без нажатия на тормоз ни мой японец ни немец никогда не заведутся ) то есть только через тормоз., в вашем случаи ничего не будет.

с коробкой ничего не будет
если заводится - заводи смело

Некоторые автомобили только так и заводятся. Но у меня, например, не надо.

Зависит от того, как заложил производитель...

в первый раз слышу. я так завожу

Читайте руководство по эксплуатации к своему автомобилю. Там это указано. К разным автомобилям и требования могут быть разными.

это из далёкого прошлого американских авто, причём без АКПП

вообще нет такого требования

С коробкой ничего не будет, другое дело, что стартер просто не включается без нажатия тормоза на позициях Р и N( не у всех)

С коробкой ничегошеньки не случиться, тормозная система никак на коробку не влияет.