Можно ли ездить на мопеде до 50 куб без прав в СПБ?

Нигде нельзя, даже в Белокаменной...
Лафа кончилась в 2013 году от РХ

ну это смотря где ездить... по мотодрому - можно... по дороге - нельзя...

Даже в Магадане нельзя

В России нельзя, если СПб в России, то значит там нельзя...

для любых дорог (возможно исключения территория садового товарищества или что-то подобное) на все сейчас ВУ нужно и ловят успешно без ВУ (штраф если поймают 5-15000, транспортное средство на штраф стоянку)
если на дороге не выезжать, например на том же питбайке, то не обязательно иметь ВУ

на данный момент в россии:
категория A -- c 18 лет все (учиться и сдавать и получать, на практике взять в мотошколу могут чуть раньше, но это незаконно)
категории A1 (до 125 куб и до 11 кВт) с 16 лет все (учиться и сдавать и получать, на практике взять в мотошколу могут чуть раньше)
категория M (до 50 кубиков) с 16 лет все (учиться и сдавать и получать, на практике взять в мотошколу могут чуть раньше, детали по другим категориям/подкатегориям (как и когда оптимально получать) можно посмотреть по ссылке: http://rulims.ru/kategorii-voditelskogo-udostovereniya/
получение водительского удостоверения сейчас только через мотошколу, самобучения ("экстерна") нет уже несколько лет
учиться на M смысла нет, имеет смысл на A1, стоит практически столько же, так же с 16 лет, а категория более интересная
стоимость зависит от региона (10000-17000 для ориентира), учиться примерно 2 месяца, плюс-минус
регламент экзамена изменился с 1 сентября: http://rulims.ru/dejstvuyushchij-i-novyj-reglament-ehkzamenov-gibdd/
для мото новое упражнение, "скоростное маневрирование"
сдавать теорию и площадку
успехов в учебе