Вопрос о продолжении визы

Нет конечно, оформляете сразу визу на столько дней, сколько Вам нужно, а не усложняйте себе и людям жизнь. Получить визу в данный момент не сложно.

Более того. оформить визу можно только в Визовом центре (или в консульстве) и естественно в стране проживания. В Чехии Вам кто будет визу делать? МИД? И на каком простите основании? Что Вам в России было влом обратиться?)

Это невозможно. Визу Вам в экстренных случаях (стихийное бедствие, серьезная болезнь, потребовавшая экстренной госпитализации и исключающая транспортировку большого на родину и т. д. ) местные миграционные службы, конечно, продлить могут, но по заявлению гражданина, основаннуму только на его желании - никогда.
Вы должны покинуть страну и оформить новую визу.

Русские, как обычно, не ищут легких путей...

нет, нельзя

Если найдете из числа местных жителей того, кто согласиться оформить на вас частное приглашение. Я, например, уже здесь, на месте ,( живу не в Чехии, в другой стране ЕС) , продлевала визу своей сестре. Изначально обращаешься в полицейский участок, а за тем в министерство иностранных дел страны, в которой находишься и к которой обращаешься. Тут задаются вопросом: "на каком основании? " Основания всегда можно придумать. Или другой вопрос: "кто вам в Чехии будет визу делать? "А что там нет органов которые этим занимаются?!

Туристический тип виз не продлевается. Есть конешно некоторые тонкости в этом плане, но оно того не стоит (по нервам и затратам) .
По поводу некоторых советов здесь - типа на месте приглашение сделать частное - полный бред. Вас с этим приглашением выпрут из страны и заставят подаваться у себя (по территориальности) в чешском посольстве на визу. Опять же - приглашение, это ещё не факт, что дадут визу.
Так что надо сразу оформлять визу на тот срок, на который вам необходимо.. . -это не такие уж и великие проблемы.