Подаю на французскую визу одновременно со сменой российского паспорта. Не откажут ли при просрочке паспорта на 3 недели?

Вам же дадут справку, что паспорт на замене т. д. и т. п.
На всякий случай сделайте копии всех страниц сейчасшнего паспорта)
Напишете, может, заявление в свободной форме, что так и так, паспорт на замене, обязуюсь, например, предоставить его после получения.
А вообще- напишите лучше Французам. У них есть же электронная почта и Визовые Центры. Они более корректно скажут, как быть)
Визовый Центр - (в других городах тоже есть)

Адрес:
м. Проспект Мира, ул. Проспект Мира д. 64, 3-й этаж. Москва 129110.

Время работы: 09:00 – 16:00 (понедельник - пятница)
Время выдачи документов: 09:00 - 18:00 (понедельник – пятница)

Для информации:
позвоните +7(495) 504 37 05 или +7 (499) 681-13-60 с 9:00 до 18:00 (понедельник – пятница)
Email: infomos.frru@vfshelpline.com

Консульство-

Визовый отдел Генерального Консульства Франции в Москве
119049, г. Москва, Казанский переулок, д. 10
м. «Октябрьская» (радиальная).
Электронный адрес : visas.moscou-fslt@diplomatie.gouv.fr
Факс: (00 7 495) 937 15 06

Действительность паспорта проверяется в обязательном порядке. Для этого на сайте ФМС даже общедоступный сервис есть http://services.fms.gov.ru/info-service.htm?sid=2000, а уж надеяться, что сотрудники визовой службы, у которых глаз "намётан", даже без такого сервиса не заметят, что паспорт уже не действителен, может только самый безнадежный оптимист.

Конечно есть вероятность что в Консульстве не заметят, что паспорт просрочен, НО почему нельзя все делать вовремя? Менять паспорта, делать визы и прочее

Я бы засомневалась. Французы, конечно, пофигисты еще те, но, думаю, не в посольстве)))

Паспорт недействителен, о какой визе может идти речь)))