Как перевезти в поезде 3-их котов?

Да, вет-паспорт обязателен. Так же как и переноска для кота, в которой он поедет. Оплачивать проезд нужно любого животного. По идее, кот в переноске может ехать с вами, если соседи по купе (если с соседями едете) не против. Для кошки метод "зайца" (сунул в мешок и так проехали) - не годится. Это я могу свою крысу тайком провезти, но с кошкой такое вряд ли получиться.
Что касается лично кота. Помимо прививок, анализов и прочего (спросите ветеринара, он вам все подробненько скажет) , позаботьтесь о том, как кот перенесет поездку. Переноска - это святое. Но лучше будет для кота, если в закрытом купе он сможет побыть "на воле" (хотябы в шлейке) . Ну и сколько вы едите по времени. Если около суток - лучше не кормить зверя совсем. А пить, особенно в жаркую погоду, побольше. Возьмите кошачью миску и бутылку обычной кипяченой воды. Возьмите также лоток. Если едите дольше, чем сутки, то кот может и "заморить червячка", но объядаться все равно нельзя.

Расскажу вам историю, как то ехала моя подруга
от Екатеринбурга до Тюмени с крысенком. Честно говоря не знала, что за животных (и таких мелких) еще и платить нужно (ну не возила никогда) . Проводница в середине пути только моего Рикки увидела, когда с ним половина вагона перезнакомилась и перегладила. Сказала, что типа, пускай едет, но "особо не афишировать и если что - прятать! " Так и доехали, проблем не было. Ответ "А мы не знали" иногда тоже выручить может.

самолет дешевле уже. там же есть багажное отделения для животных в клетке или переноске.

Проводнику деньги отдай и пусть они в вагоне мышей ловят

Обязателен ветеринарный паспорт, прививки от бешенства. А вообще, конечно, самолётом проще, и самим животным меньше мучаться. Почитайте о транспортировке котов на кошачьих сайтах, например, миркошек. рф.