Решение неравенств методом интервалов

Найти производную и методом интервалов исследовать ее знак:
а) определить нули производной;
б) недопустимые значения аргумента производной ;
в) расположить все точки в порядке возрастания:
г) исследовать знак производной на полученных интервалах ;
Напр. у=х+1/х, у'=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2.
а) определим нули производной: x^2-1=0, x1=-1; x2=1;
б) недопустимые значения аргумента x=0;
в) интервалы знакопостоянства производной:
(-00,-1) у'>0 у возрастает,
(-1,0) у'<0 у убывает,
(0,1) у'<0 у убывает,
(1,00) у'>0 у возрастает.

надо подставлять не одно значение из промежутка, а два
если для любых различных x1, x2 из промежутка f(x2)-f(x1) имеет тот же знак, что x2-x1, то функция возрастает, если f(x2)-f(x1) имеет знак противоположный знаку x2-x1, то функция убывает

Пример y=x^2 на промежутке [0;+бесконечность)
Тогда y2 - y1 = x2^2 - x1^2 = (x2-x1)(x2+x1)
Так как x2+x1 положительно для любых двух различных чисел из промежутка, то y2-y1 имеет тот же знак, что x2-x1, следовательно, функция возрастает на этом промежутке

sin(x) на промежутке [пи/2;3пи/2]
sin(x2)-sin(x1)=2 cos((x1+x2)/2) sin((x2-x1)/2)
для двух любых различных чисел этого промежутка:
(x1+x2)/2 лежит между ними как среднее арифметическое, следовательно
(x1+x2)/2 принадлежит промежутку (пи/2; 3пи/2), следовательно
cos((x1+x2)/2) < 0
|x2-x1|<= пи, поэтому |(x2-x1)/2| <= пи/2, (x2-x1)/2 принадлежит промежутку [-пи/2;пи/2], а на этом промежутке sin(x) имеет тот же знак что и x
следовательно
sin(x2)-sin(x1)=2 cos((x1+x2)/2) sin((x2-x1)/2) имеет знак противоположный знаку (x2-x1)/2, то есть знак противоположный знаку x2-x1, поэтому функция sin(x) на указанном промежутке убывает

важно: для того, чтобы было возрастание или убывание условие совпадения или противоположности знаков должно выполняться для ЛЮБЫХ двух различных точек промежутка

Возьмите производную от исходной функции.
Приравняв к нулю, найдите критические точки. Они разобью всю числовую прямую на интервалы. Рассмотрите производную, точнее ее знак на этих интегралах. Если производная положительна - ф-я возрастает, отрицательна - убывает.

Подставляете в уравнение любое число входящее в промежуток и считаете, в зависимости от того положительное или отрицательное число получается сделае вывод возрастает (+) или убывает (-).