Назовите мне основные свойства неравенства.

Основные свойства.

* a < b b > a
* a < b и b < c a < c
* a < b a + c < b + c или a - c < b - c
* a < b и c < 0 acbc или cacb
* a < b и c > 0 acbc или cacb
* a + b > c a - c > - b
* a >b - a < - b

Ключевые слова: неравенство, равносильность, свойства числовых неравенств, действия с неравенствами, тождества

Определение. Числовым неравенством называется выражение вида a < b, a \le b, a > b, a \ge b, где a \le b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a < b, \\ a = b. \end{array} \right. и a \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a > b, \\ a = b. \end{array} \right..

Решить неравенство - значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

Основные свойства.
a < b \Leftrightarrow b > a
a < b и b < c \Leftrightarrow a < c
a < b \Leftrightarrow a + c < b + c или a - c < b - c
a < b и c < 0 \Leftrightarrow a \cdot c > b \cdot c или \frac{a}{c}> \frac{b}{c}
a < b и c > 0 \Leftrightarrow a \cdot c < b \cdot c или \frac{a}{c}< \frac{b}{c}
a + b > c \Leftrightarrow a - c > - b
a >b \Leftrightarrow - a < - b

Действия с неравенствами
a < b и c < d \Leftrightarrow a + c < b + d
a < b и c > d \Leftrightarrow a - c > b - d
a > b >0 и c > d >0 \Leftrightarrow a \cdot c > b \cdot d
a > b \Leftrightarrow a^{k}> b^{k} или \root n \of {a} > \root n \of {b}, где a > 0, b > 0 и n, k \in N

Некоторые важные неравенства
|a + b| \le |a| + |b|, где a и b произвольные числа
|a - b| \ge |a| - |b|, где a и b произвольные числа
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a \cdot b}, a > 0, b > 0
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2

их у него нет

Смотри стандартную аксиоматику вещественных чисел; там всего несколько аксиом про отношение неравенства - из них всё выведешь