В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин A(3;1;2);B(0;-1;-1);C(-1;1;0).Найти длину диагонали BD.

Решаем эту задачу следующим образом. Для начала находим координаты точки D. В параллелограмме стороны параллельны, то есть разность координат конца и начала отрезков, являющихся его сторонами пропорциональны.
Координаты отрезка AB (-3,-2,-3). Параллелен ему отрезок СD, но посокльку мы не знаем координат точки D, то запишем координаты отрезка CD следующим образом:
CD (a+1, b-1, c), где a, b и с - координаты точки D по осям x, y и z соответственно.

Оставим как есть, у паралеллограма есть ещё две паралельных стороны.
BC (-1, 0, 1) и AD (a-3, b-1, c-2).
Выразим а через с:
(a - 3)/-1 = (c - 2)/1
3 - a = c - 2
a= 5 - c

Теперь можно использовать св-во пропорциональности у первых найденных нами паралельных отрезков:
(a + 1)/-3 = c/ -3
Заменяем a через с.
(6 - с) /-3 = с/-3
6 - с = с
с =3.
Отсюда а = 2.
b находим тоже через св-во пропорциональности.
(b - 1)/-2 = (a + 1)/-3
(b - 1)/-2 = 3/-3
b - 1 =2, b = 3.
Координаты точки D (2,3,3)
Теперь можно легко найти длину отрезка по формуле.
BD^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36.
BD = 6.

Надеюсь, что помог вам, скорее всего нарешал правильно, хоть и давно геометрия была)

Да, можно решать как Alex Cheredov, используя систему уравнений прямых, проходящих через точки. . Как проще, и что лучше понимаете, так и решайте, в-общем. . Эту же задачу можно и векторно рассчитать) Многообразие решений в геометрии..

Чтобы найти координыты вершину D напиши уравнения прямых, проходящих через вершину С, параллельно АВ и через вершину А, параллельно ВС. Затемнайди точку персечения этих прямых. (Простенькая система) .
А расстояние между двумя точками - это корнеь квадратный из квадратов координат вектора BD.