ВУЗы и колледжи
Помогите,я запуталась!
Задание №1 Дана числовая последовательность x_n=(3n+16)/(3n-2) Развернуть данную числовую последовательность, приведя для этого соответствующую запись. Определить: 23-й член этой последовательности; Для каждого из чисел 35/19, 37/23, 4, 26/17 является ли рассматриваемое число членом данной числовой последовательности, или таковым не является, проведя для этого соответствующее рассуждение; Вид данной числовой последовательности, обоснованием с помощью соответствующего рассуждения; Высказать гипотезу какова эта последовательность – сходящаяся или расходящаяся; Обосновать высказанную гипотезу в пункте d) некоторым правдоподобным рассуждением. Задание №2 Указать какой-либо номер N такой, что для всех n≥N члены последовательности {xn} из задачи №1 попадают в заданную ε-окрестность придела рассматриваемой числовой последовательности. ε=0,1; ε=0,01; ε=0,001; ε=0,0001 Указать член числовой последовательности и его номер, заменив которым придел рассматриваемой числовой последовательности вы допустите погрешность не более 4%.
x_n = (3n+16)/(3n-2)
X = {19, 11/2, 25/7, 14/5, 31/13, 17/8, 37/19, 20/11, 43/25, 23/14, 49/31, 26/17, 55/37, 29/20, 61/43, 32/23, 67/49, 35/26, 73/55, ..}
x_23 = (3*23+16)/(3*23-2)= 85/67
Проверка на принадлежность последовательности 35/19, 37/23, 4, 26/17:
Если число 35/19 принадлежит последовательности, то 35/19 = (3n+16)/(3n-2), для некоторого n.
(Учтем, что дроби можно сокращать, (k*a)/(k*b) = a/b).
Так как дробь 35/19 несократимая, то существование представления 35/19 = (3n+16)/(3n-2) равносильно системе:
35*k = 3*n + 16,
19*k = 3*n - 2.
Решаем систему:
6*k = 18,
19*k = 3*n - 2.
Находим, что:
k = 3,
n = 19+2/3.
n не принадлежит множеству натуральных чисел N, поэтому делаем вывод, что 35/19 не принадлежит последовательности x_n.
Для 37/23:
37*k = 3*n + 16,
23*k = 3*n - 2.
14*k = 18,
23*k = 3*n - 2.
k = 9/7
n = 221/21
n не принадлежит множеству натуральных чисел N, поэтому делаем вывод, что 37/23 не принадлежит последовательности x_n.
Для 4:
4*k = 3*n + 16,
k = 3*n - 2.
k = 6,
n = 8/3.
n не принадлежит множеству натуральных чисел N, поэтому делаем вывод, что 4 не принадлежит последовательности x_n.
Для 26/17:
26*k = 3*n + 16,
17*k = 3*n - 2.
k = 2,
n = 12.
Делаем вывод, что число 26/17 принадлежит последовательности x_n и является ее 12 членом.
Последовательность убывающая (x_{n+1} < x_{n}):
(3*(n+1)+16)/(3*(n+1)-2) < (3*n+16)/(3*n-2),
1 + 18/(3*(n+1)-2) < 1 + 18/(3*n-2),
1/(3*(n+1)-2) < 1/(3*n-2),
3*n-2 < 3*(n+1)-2,
3*n-2 < 3*n+1,
-2 < 1.
Данная последовательность сходящаяся и ее предел равен 1.
x_n = (3n+16)/(3n-2) = 1 + 18/(3n-2)
A = lim_{x \to \infty} x_n = 1
Рассмотрим разницу Dn = x_n - A.
Dn = x_n - A = 1 + 18/(3n-2) - 1 = 18/(3n-2).
Покажем что для любого наперед заданного eps > 0, найдется номер n*, такой что для любого n > n* : |A - x_n| < eps.
Цепочка тождественных преобразований:
18/(3n-2) < eps,
18/eps < 3*n - 2,
(18/eps + 2)/3 < n,
6/eps + 2/3 < n.
Делаем вывод, что для любого n больше 6/eps + 2/3: |A - x_n| < eps.
За n* можно взять [6/eps + 2/3] + 1 ([x] ---целая часть числа x).
Далее просто подставляем eps в формулу n* = [6/eps + 2/3] + 1.
Для 4% eps = 0,04.
X = {19, 11/2, 25/7, 14/5, 31/13, 17/8, 37/19, 20/11, 43/25, 23/14, 49/31, 26/17, 55/37, 29/20, 61/43, 32/23, 67/49, 35/26, 73/55, ..}
x_23 = (3*23+16)/(3*23-2)= 85/67
Проверка на принадлежность последовательности 35/19, 37/23, 4, 26/17:
Если число 35/19 принадлежит последовательности, то 35/19 = (3n+16)/(3n-2), для некоторого n.
(Учтем, что дроби можно сокращать, (k*a)/(k*b) = a/b).
Так как дробь 35/19 несократимая, то существование представления 35/19 = (3n+16)/(3n-2) равносильно системе:
35*k = 3*n + 16,
19*k = 3*n - 2.
Решаем систему:
6*k = 18,
19*k = 3*n - 2.
Находим, что:
k = 3,
n = 19+2/3.
n не принадлежит множеству натуральных чисел N, поэтому делаем вывод, что 35/19 не принадлежит последовательности x_n.
Для 37/23:
37*k = 3*n + 16,
23*k = 3*n - 2.
14*k = 18,
23*k = 3*n - 2.
k = 9/7
n = 221/21
n не принадлежит множеству натуральных чисел N, поэтому делаем вывод, что 37/23 не принадлежит последовательности x_n.
Для 4:
4*k = 3*n + 16,
k = 3*n - 2.
k = 6,
n = 8/3.
n не принадлежит множеству натуральных чисел N, поэтому делаем вывод, что 4 не принадлежит последовательности x_n.
Для 26/17:
26*k = 3*n + 16,
17*k = 3*n - 2.
k = 2,
n = 12.
Делаем вывод, что число 26/17 принадлежит последовательности x_n и является ее 12 членом.
Последовательность убывающая (x_{n+1} < x_{n}):
(3*(n+1)+16)/(3*(n+1)-2) < (3*n+16)/(3*n-2),
1 + 18/(3*(n+1)-2) < 1 + 18/(3*n-2),
1/(3*(n+1)-2) < 1/(3*n-2),
3*n-2 < 3*(n+1)-2,
3*n-2 < 3*n+1,
-2 < 1.
Данная последовательность сходящаяся и ее предел равен 1.
x_n = (3n+16)/(3n-2) = 1 + 18/(3n-2)
A = lim_{x \to \infty} x_n = 1
Рассмотрим разницу Dn = x_n - A.
Dn = x_n - A = 1 + 18/(3n-2) - 1 = 18/(3n-2).
Покажем что для любого наперед заданного eps > 0, найдется номер n*, такой что для любого n > n* : |A - x_n| < eps.
Цепочка тождественных преобразований:
18/(3n-2) < eps,
18/eps < 3*n - 2,
(18/eps + 2)/3 < n,
6/eps + 2/3 < n.
Делаем вывод, что для любого n больше 6/eps + 2/3: |A - x_n| < eps.
За n* можно взять [6/eps + 2/3] + 1 ([x] ---целая часть числа x).
Далее просто подставляем eps в формулу n* = [6/eps + 2/3] + 1.
Для 4% eps = 0,04.
Похожие вопросы
- Помогите пожалуйста! Запуталась с решением-задача по теории вероятности
- Помогите, совсем запуталась с примером
- Взрослые опытные люди!!!Прошу все вас дать мне совет!Помогите!Я совсем запуталась!История внутри
- Очень нужен совет, совсем запуталась
- я запуталась, помогите распутаться
- я в течении трех лет изучала английский язык,хотела поступить на переводчика,но сейчас уже запуталась?помогите выбрать
- Помогите, пожалуйста, решить задачи по Уголовному праву. (Сама окончательно запуталась)
- Помогите! учу билеты по Морфологии СРЯ, запуталась...
- Запуталась в системе высшего образования. Помогите.
- Я запуталась, помогите пожайлуста!!!