Скажите пожалуйста все 5 свойств логарифмов?

Основные свойства логарифмов.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом а>0 (а≠ 1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

1. loga1=0.

2. logaa=1.

3. logaxy =logax + logay.

4. loga отношение x к y =logax—logay.

5. loga xp=p loga x для любого действительного р.

Для доказательства правила 3 воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x=alogax, y=alogay. (1)

Перемножая почленно эти равенства, получаем:

xy=alogax * alogay= alogax + logay ,

т. е. xy= alogax+ logay . Следовательно, по определению логарифма loga(xy)=logax+ logay.

Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Правило 4 докажем вновь с помощью равенств (1):

равенство

следовательно, по определению равенство.

Говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов.

Для доказательства правила 5 воспользуемся тождеством x=alogax, откуда хр = (alogax)p= ap logax. Следовательно, по определению loga xP = p loga x.

Говорят, что логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

равенство.
(Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при x>0, а>0 и а≠1, b>0 и b≠1.)

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

logb x = logb( alogax)

откуда

logb x = loga x* logb a

Разделив обе части полученного равенства на logb a, приходим к нужной формуле.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg).