однородный стержень длиной 85см подвешен на горизон.оси.проходящий через верхний конец стержня.Какую наименьшую скорость

Очень тяжелая задача, в нормальном решении не очень приятные дифуры второго порядка.

Но можно читерить и решать через энергию.

Дано: l = 85 см
Найти: v_0
Решение:

Стержень сделает полный оборот вокруг оси, если, после придания ему
начального импульса, он совершит пол оборота и будет иметь ненулевую скорость.
Для того чтобы найти нижнюю границу начальной скорости, будем искать
начальную скорость v_0, при которой стержень, совершив пол оборота,
будет иметь нулевую скорость.

Так как мы рассматриваем вращательное движение, то удобнее использовать
угловую скорость w, которая не зависит от радиуса траектории движения точки.
Линейная и угловая скорости связаны соотношением:
v = w*R, R ---радиус кривизны траектории.

Тогда в начальный момент времени угловая скорость w_0 = v_0/l.
Когда стержень совершит пол оборота: w_1 = 0 (линейная скорость любой его точки v = 0).

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, совершающего вращательное движение,
определяется соотношением:
T = (J*w^2)/2,
где T ---кинетическая энергия,
J ---момент инерции относительно оси вращения,
w ---угловая скорость.

T_0 = (J*w_0^2)/2,
T_1 = 0.

Момент инерции стержня относительно конца J = (m*l^2)/3.
[J = интеграл от 0 до l от x^2*p по dx (p ---линейная плотность, p = m/l)
= (p*x^3)/3 в подстановке от 0 до l = (m/l * l^3)/3 - 0 = (m*l^2)/3]

Найдем потенциальную энергия стержня:
П = m*g*h,
где П ---потенциальная энергия,
m ---масса стержня,
g ---ускорение свободного падения,
h ---высота центра масс стержня над поверхностью Земли.

Центр масс стрежня совпадает с центром стержня, так как стержень однородный.

Тогда (H ---высота центра масс стержня над поверхностью Земли
в начальный момент времени) :
П_0 = m*g*H,
П_1 = m*g*(H + l).

Полная энергия E = T + П.
По закону сохранения энергии E_0 = E_1:
(J*w_0^2)/2 + m*g*H = 0 + m*g*(H + l),
(J*w_0^2)/2 = m*g*l,
[подставляем J и w_0]
((m*l^2)/3 * (v_0/l)^2)/2 = m*g*l,
(m*v_0^2)/6 = m*g*l,
v_0^2 = 6*g*l,
v_0 = sqrt(6*g*l).

g ~= 9,8154 м/с^2
l = 0,85 м

v_0 ~= sqrt(6*9,8154*0,85) ~= 7,08 (м/с) .

Ответ: v_0 ~= 7,08 (м/с) .

кинетическая энергия внизу должна быть равна потенциальной в верхней точке
mv^2 = mgh - закон сохранения энергии для середины стержня
h=0,85м, g=9,8м/с^2
v= корень (0,85*9,8)=2,9 м/с скорость середины стержня
скорость на конце стержня = 2v = 5.8м/с
ответ концу стержня надо сообщить скорость не менее 5.8м/с