Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=0,5x^2, 2x+2y-3=0

Дано: Тело, образованное вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=0,5x^2, 2x+2y-3=0

Вычислить (найти ) объем этого тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=0,5x^2, 2x+2y-3=0

Решение
Перепишем 2x+2y-3=0 в виде y=3/2-x

Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи (π).
V=π∫ (от a до b) y^2 dx
В формуле a и b значения отложены по оси Ox. Функция y(x) задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.
Источник информации – https:// xn--24-6kcaa2awqnc8dd. xn--p1ai/ obem-tela-vrashheniya-vokrug-osi-ox. html (для перехода по ссылке необходимо скопировать в адресную строку и убрать пробелы).

1. Строим график фигуры
2. Вычисляем определенный интеграл

Если необходимо вычислить (найти) объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox, заданной двумя функциями, то необходимо найти точки пересечения двух графиков функций.

Приравниваем их друг к другу и решаем уравнение относительно одной переменной x:
0,5x^2 = 3/2-x
x^2 + 2x – 3 = 0
x1,2 = (-b ±√D)/2a, где D = b^2 – 4ac
x1 = -3
x2 = 1

Необходимо выполнить построение графиков функций для наглядности (графики построены при помощи сайта https:// www. mathway. com/ ru/ Graph - для перехода по ссылке необходимо скопировать в адресную строку и убрать пробелы).


Для того, чтобы найти объем тела вращения, заданного с помощью двух функций, необходимо найти разность объемов.

Для этого, находим сначала объем фигуры вращения, заданной функцией y=3/2-x, затем отдельно y=0,5x^2.

Объем фигуры вращения заданной функцией y=3/2-x обозначим V1
V1 = π∫ (3/2-x)^2 dx [на отрезке от a=-3 до b=1] = π∫ (9/4-3x+x^2) dx [на отрезке от a=-3 до b=1]
V1 = π(9x/4-(3x^2)/2+(x^3)/3) [на отрезке от a=-3 до b=1] = π[(9/4-3/2+1/3) - (-27/4-27/2-27/3)] = π[((27-18+4)/12) - (-(81+162+108)/12)] = π(13/12 + 351/12) = π(364/12) = π(30 + 4/12) = π(30 + 1/3)

Объем фигуры вращения заданной функцией y=0,5x^2 обозначим V2
V2 = V21 + V22 = π∫ (0,5x^2)^2 dx [на отрезке от a=-3 до b=0]+ π∫ (0,5x^2)^2 dx [на отрезке от a=0 до b=1]
V21 = π(0,25(x^5)/5 [на отрезке от a=-3 до b=0] = 0 – π(-243/20) = π(243/20)
V22 = π(0,25(x^5)/5 [на отрезке от a=0 до b=1] = π(1/20) - 0 = π(1/20)
V2 = V21 + V22 = π(243/20) + π(1/20) = π(243+1/20) = π(244/20) = π(12 + 4/20) = π(12 + 1/5)

Искомый объем получаем с помощью разности объемов: V = V1 - V2 = π(30 + 1/3) - π(12 + 1/5) = π(30 - 12 +1/3 - 1/5) = π(18 + 2/15) ≈ 56,97

Ответ: Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=0,5x^2, 2x+2y-3=0 равен π(18 + 2/15) ≈ 56,97

P.S. "В действительности всё выглядит иначе, чем на самом деле" © Станислав Ежи Лец

3^