Вычислить площадь фигуры,ограниченной параболой y=1/3(x-4)^2 и прямой 2x-y-8=0. Сделайте чертёж

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = (1/3)(x-4)^2 и прямой 2x - y - 8 = 0, необходимо найти точки их пересечения и затем провести график для определения границ фигуры. Давайте начнем с нахождения точек пересечения:

1. Подставим уравнение прямой в уравнение параболы:
(1/3)(x-4)^2 = 2x - 8

2. Распишем уравнение параболы:
(1/3)(x^2 - 8x + 16) = 2x - 8

3. Распределим коэффициент (1/3) на оба слагаемых:
(1/3)x^2 - (8/3)x + (16/3) = 2x - 8

4. Приведем уравнение к квадратичному виду:
(1/3)x^2 - (8/3)x - 2x + (16/3) + 8 = 0
(1/3)x^2 - (14/3)x + (40/3) = 0

5. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:
x^2 - 14x + 40 = 0

6. Решим квадратное уравнение:
(x - 4)(x - 10) = 0

Из этого следует, что x = 4 или x = 10.

7. Подставим значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = 4:
2(4) - y - 8 = 0
8 - y - 8 = 0
-y = 0
y = 0

Для x = 10:
2(10) - y - 8 = 0
20 - y - 8 = 0
-y = -12
y = 12

Таким образом, получаем две точки пересечения: (4, 0) и (10, 12).

Теперь мы можем построить график, чтобы определить границы фигуры и вычислить ее площадь:
На графике мы видим, что парабола и прямая пересекаются в точках (4, 0) и (10, 12), и образуют фигуру, ограниченную этими точками и осью x.

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно вычислить площадь под параболой и вычесть площадь под прямой.

Площадь под параболой:
S1 = ∫[4, 10] (1/3)(x-4)^2 dx

Раскроем скобки:
S1 = ∫[4, 10] (1/3)(x^2 - 8x + 16) dx

Проинтегрируем по каждому слагаемому:
S1 = (1/3)(1/3)x^3 - (1/3)(8/2)x^2 + (1/3)(16)x | [4, 10]

Вычислим значения в пределах интегрирования:
S1 = (1/3)(1/3)(10)^3 - (1/3)(8/2)(10)^2 + (1/3)(16)(10) - (1/3)(1/3)(4)^3 + (1/3)(8/2)(4)^2 - (1/3)(16)(4)

Упростим:
S1 = (1/27)(1000) - (40/3)(100) + (160/3) - (64/27) + (32/3) - (64/3)

Просуммируем:
S1 = 1000/27 - 400/3 + 160/3 - 64/27 + 32/3 - 64/3

Таким образом, площадь под параболой S1 равна:
S1 = 832/27

Площадь под прямой:
S2 = ∫[4, 10] (2x - 8) dx

Интегрируем каждое слагаемое:
S2 = (2/2)x^2 - (8/1)x | [4, 10]

Вычисляем значения в пределах интегрирования:
S2 = (2/2)(10)^2 - (8/1)(10) - (2/2)(4)^2 + (8/1)(4)

Упростим:
S2 = 100 - 80 - 8 + 32

Просуммируем:
S2 = 44

Таким образом, площадь под прямой S2 равна:
S2 = 44

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, вычитая площадь под прямой из площади под параболой:
S = S1 - S2
S = 832/27 - 44

Упростим:
S = (832 - 44 * 27)/27

Вычислим:
S ≈ 68.815

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y = (1/3)(x-4)^2 и прямой 2x - y - 8 = 0, составляет около 68.815 единиц площади.

y1 = (x-4)^2/3
y2 = 2*x-8 = 2*(x-4)

Найдём точки пересечения, это будут границы интегрирования:
(x-4)^2/3 = 2*(x-4)
(x-4)^2/3 -2*(x-4) = 0
(x-4)*((x-4)/3 - 2) = 0
x-4 = 0 => x=4
(x-4)/3 - 2 = 0 => x=10

Площадь фигуры равна разности площадей под параболой и под прямой или модулю от разности интегралов заданных функций.
S = |интеграл с пределами 4 и 10 от (x-4)^2/3 -2*(x-4)*dx| = интеграл с пределами 4 и 10 от (x-4)^2/3 -2*(x-4)*d(x-4) = |(x-4)^3/9 - (x-4)^2| = |(x-4)^2*((x-4)/9 - 1)|
Подставляем в получившееся выражение пределы:
|(10-4)^2*((10-4)/9 - 1) - (4-4)^2*((4-
4)/9 - 1)| = 12 кв. единиц - площадь фигуры